2025高考数学一轮课时作业第二章函数2.4指数函数（附解析）

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1. 【多选题】下列结论中，正确的是（ BD ）
A. 函数是指数函数
B. 函数的值域是
C. 对任意，
D. 函数，且的图象必过定点
解：对于，根据指数函数的定义判断函数 不是指数函数，错误.
对于，,,故值域是，正确.
对于，当 时，，错误.
对于，令，则，，的图象必过定点，正确.
故选.
2. 【多选题】函数，且的图象可能是（ BD ）
A. B.
C. D.
解：当 时，，函数单调递增，其图象与 轴交点的纵坐标在 之间，符合.
当 时，，函数单调递减，其图象与 轴交点的纵坐标应小于0，符合.故选.
3. 设，，，则，，的大小关系是（ A ）
A. B. C. D.
解：因为函数 在 上单调递增，所以.因为函数 在 上单调递减，所以，即.则，，的大小关系为.故选.
4. [2022年北京卷]已知函数，则对任意实数，有 （ C ）
A. B.
C. D.
解：,故 错误，正确.
不是常数，故，错误.
故选.
5. 当时，函数的值域为（ A ）
A. B. C. D.
解：令，因为，所以.则，且对称轴为，开口向上.所以 时，函数 单调递减，时，函数 单调递增.
故当 时，，当 时，.故函数 的值域为.故选.
6. 已知条件：,,；在上单调递减.请写出一个同时满足以上两个条件的函数（答案不唯一）.
解：由题意，知满足①②的是指数函数中的减函数，故可取.故填（答案不唯一）.
7. 已知函数（为常数），若在区间上单调递增，则的取值范围是 .
解：令，则 在区间，上单调递增，在区间 ，上单调递减.而 为 上的增函数，所以要使函数 在 上单调递增，则有，即.所以 的取值范围是.
故填.
8. 设函数，是不为零的常数.
（1） 若，求使的的取值范围;
解：由，得.不等式 可化为，所以.故 的取值范围是.
（2） 当时，的最大值是16，求的值.
[答案]
当 时，是增函数，则，所以.
当 时，是减函数，则，所以.
综上，或.
【综合运用】
9. 【多选题】已知函数，且的图象如图所示，则以下结论正确的是（ ABC ）
A. B. C. D.
解：根据函数，且 的图象，知函数 是单调递增函数，所以.
又 时，，所以，解得,所以 是增函数，，正确.
由，得，正确.
由，得，正确.
由 是单调递减函数，得，错误.
故选.
10. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是 （ B ）
A. B. C. D.
解：当 时，，所以.
当 时，为增函数，
所以.
因为 的值域为，
所以 解得.故选.
11. [2023年全国甲卷]已知函数．记,,，则（ A ）
A. B. C. D.
解：令，则 的图象开口向下，对称轴为.
因为，而，
即，所以.
因为，而，
即，所以.
综上，.
又 为增函数，故.故选.
12. 已知函数，.
（1） 若函数为奇函数，求实数的值；
解：因为 是奇函数，，所以，即．所以 对 恒成立，所以.
（2） 若对任意的都有成立，求实数的取值范围．
[答案]因为对任意的 都有，即 成立，所以 对 恒成立.所以.因为 在 上单调递增，所以，所以.所以实数 的取值范围是．
【拓广探索】
13. 已知，若，则的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
解：不妨设.
①当 时，由，可得，即，不成立.
②当 时，由，可得，即，不成立.
③当 时，由，可得，即.
所以（当且仅当 取等号）.所以 （等号不成立）.所以
故选 .