2025高考数学一轮课时作业第二章函数2.2函数的基本性质第1课时函数的单调性与最大小值（附解析）

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1. 下列函数中是减函数的为（ C ）
A. B. C. D.
解：中，是增函数 中，在 上单调递增，在 上单调递减，不是减函数 中，是减函数 中，在 和 上单调递减，不是减函数.故选.
2. 下列函数在上最大值为3的是 （ A ）
A. B. C. D.
解：对于，在 上单调递减，所以，故 正确.
对于，在 上单调递增，所以，故 错误.
对于，在 上单调递增，所以，故 错误.
对于，在 上单调递增，所以，故 错误.故选.
3. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 （ A ）
A. B. C. D.
解：图象的对称轴为.因为 在区间 上单调递减，所以.解得.故选.
4. 【多选题】下列函数中满足“,，，都有”的是（ AB ）
A. B. C. D.
解：题中是函数单调递增的充要条件.
对于,在 上单调递增，正确.
对于，由性质可判断 在 上单调递增，正确.
对于，，故 在 上单调递增，在 上单调递减，错误.
对于，当 时，在 上单调递减，错误.
故选.
5. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ B ）
A. B.
C. D.
解：因为，在 上单调递增，所以.故选.
6. 函数的单调递增区间是 ．
解：由,解得 或，则 的定义域为.令，在 上单调递增，的单调递增区间为.由复合函数单调性，可知 的单调递增区间是.故填.
7. 已知函数，则不等式的解集为 ．
解：由题意，得 在 上单调递增.因为，所以.解得 或，所以不等式的解集为.故填.
8. 已知函数.
（1） 求；
解：.
（2） 探究的单调性，并证明你的结论.
[答案]
的定义域为.任取，且，则.
因为 在 上单调递增，
所以.所以.
又，，所以，即.
所以 在 上单调递增.
【综合运用】
9. 函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
解：因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数 在区间 上不单调，有.故选.
10. 设函数在上单调递增，则的取值范围为（ D ）
A. B. C. D.
解：由，得，即函数 的定义域为.
令,，则 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增.所以 解得.故选.
11. 已知函数，则当时，的最大值为9．
解：，所以 在 ，，，上均单调递减.又，所以当 时，取最大值.故填9.
12. 若函数，且的值域是，则实数的取值范围是 .
解：当 时，.要使函数 的值域为，只需 的值域包含于，故.所以，解得.所以实数 的取值范围是．故填．
【拓广探索】
13. 已知函数满足，，且，.当时，.
（1） 判断并证明的单调性;
解：证明：设,，且，则，所以.
由，得，所以.
又，所以，所以函数 在 上单调递增.
（2） 求不等式的解集.
[答案]
由，得，.
所以 转化为.由 的单调性，得，解得.
所以不等式的解集为 ,.