2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.8二项分布与超几何分布

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2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.二项分布
（1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.显然,重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做次,且各次试验的结果相互独立.
（2）二项分布：一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为
，,1， ，.
如果随机变量的分布列具有上式的形式,则称随机变量服从二项分布,记作 ,且有 , .
2.超几何分布
一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为
，，，， ，.
其中,,,,,,,,.如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布..
常用结论
二项分布的增减性与最大值
记,则当时，,递增；当时，,递减.故最大值在时取得（此时,两项均为最大值；若非整数，则取的整数部分时，最大且唯一）.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 两点分布是二项分布当时的特殊情形.（ √ ）
（2） 重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立. （ √ ）
（3） 某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，是重伯努利试验.（ √ ）
（4） 二项分布是一个概率分布，其公式相当于二项展开式的通项公式，其中,.（ √ ）
（5） 抛掷三枚骰子，点数是6的骰子个数记为,则的概率分布是超几何分布.（ × ）
2. 某批产品正品率为，次品率为，抽取5件产品，恰有3次抽到正品的概率是（ B ）
A. B. C. D.
解：3次抽到正品，则2次抽到次品，概率为.故选.
3. （教材题改编）一箱中装有6个同样大小的红球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的黄球，编号为7，8，9，10.现从箱中任取4个球，下列变量服从超几何分布的是（ C ）
A. 表示取出的最小号码
B. 若有放回地取球，表示取出的最大号码
C. 若无放回地取球,表示取出的黄球个数
D. 若有放回地取球，表示取出的黄球个数
解：根据超几何分布的定义，可知，，均不合要求，满足.故选.
4. （教材题改编）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，表示“正面朝上”出现的次数，则（ A ）
A. 2B. 1C. D.
解：由题意，可知,，则.故选.