2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.6事件的相互独立性条件概率与全概率公式

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1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型，利用独立性计算概率.
2.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.
3.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.
4.结合古典概型，会利用乘法公式和全概率公式计算概率.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.事件的相互独立性
（1）两个事件相互独立的定义：对任意两个事件与，如果 成立，则称事件与事件相互独立,简称为独立.必然事件 ，不可能事件 都与任意事件相互独立.
（2）相互独立的性质：如果事件与相互独立，那么与，与，与也都相互独立.
（3）推广:如果事件,, ,相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即.
2.条件概率
（1）条件概率.
①定义：一般地，设,为两个随机事件，且,我们称 为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率.
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件与，若,则 .
（2）条件概率的性质：设，则
;
②如果和是两个互斥事件，则 ;
③设和互为对立事件，则 .
3.全概率公式
一般地，设，， ，是一组两两互斥的事件， ，且,,2, ，,则对任意的事件 ，有.我们称这个公式为全概率公式.
常用结论
贝叶斯公式
设，， ，是一组两两互斥的事件， ，且,,2, ，,则对任意的事件 ，,有,,2, ，.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 对于任意两个事件，公式都成立.（ × ）
（2） 表示在事件发生的条件下，事件发生的概率，表示事件，同时发生的概率.（ √ ）
（3） 若事件，相互独立，且,则.（ √ ）
（4） 抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚正面朝上”为事件，“第2枚正面朝上”为事件，则，相互独立.（ √ ）
（5） 若事件与是对立事件，且,,则对任意的事件 ，都有.（ √ ）
2. （教材题改编）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为 （ A ）
A. B. C. D. 1
解：设“甲独立地破解出谜题”为事件，“乙独立地破解出谜题”为事件，则，.
故，.所以，即谜题没被破解出的概率为.故选.
3. （教材题改编）已知某品牌手机从高的地方掉落时，第一次未损坏的概率为，在第一次未损坏的情况下第二次也未损坏的概率为0.1.则这样的手机从高的地方掉落两次后仍未损坏的概率为（ D ）
A. 0.25B. 0.15C. 0.1D. 0.03
解：设事件 为“第一次未损坏”，事件 为“第二次未损坏”，则所求事件为.又，，则
故选.
4. （教材题改编）智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去食堂A，那么第二天去食堂A的概率为0.6；如果第一天去食堂B，那么第二天去食堂A的概率为0.5.则居民甲第二天去食堂A用餐的概率为0.55.
解：由题意，得居民甲第二天去食堂 用餐的概率
故填0.55.