2025高考数学一轮知识必备练习第九章概率与统计9.4二项式定理

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1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
二项式系数是一组仅与二项式的幂指数有关的个组合数，与,无关.其性质如下：
（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由 得到.直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
（2）增减性与最大值：当时，随的增加而增大；当时，随的增加而减少.如果二项式的幂指数是偶数，那么其展开式中间一项，即 的二项式系数最大；如果是奇数，那么其展开式中间两项 与 的二项式系数相等且最大.
（3）各二项式系数的和： ，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即.
常用结论
杨辉三角
杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表（如下），是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.
（1）最外层全是1，第二层（含1）是自然数列1,2,3,4， ,第三层（含1，3）是三角形数列1，3，6，10，15， .
（2）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即.
（3）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即.
（4）第行奇数项之和与偶数项之和相等,即 .
（5）第行所有数的和为,即.
（6）自左（右）腰上的某个1开始平行于右（左）腰的一条线上的连续个数的和等于最后一个数斜左（右）下方的那个数.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 是二项展开式的第项.（ × ）
（2） 二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.（ × ）
（3） 的展开式中某一项的二项式系数与，无关.（ √ ）
（4） 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.（ √ ）
（5） 杨辉三角各行中除1以外的每个数字，等于其“肩上”两数之和.（ √ ）
2. （教材题改编）的展开式中的系数等于 （ A ）
A. 45B. 20C. D.
解：展开式的通项为.令，得.所以展开式中 的系数为.故选.
3. 已知的展开式中，第3项和第4项的二项式系数相等，则（ C ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
解：由题意，得，所以.故选.
4. （教材题改编）若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项为20.
解：因为二项式系数之和为，所以.则展开式的通项.令，得.则常数项为.故填20.概念
公式…+叫做二项式定理
二项式系数
各项的系数 叫做二项式系数
通项
叫做二项展开式的通项，是展开式中的第 项，可记做
二项展开式
叫做的二项展开式