2025高考数学一轮知识必备练习第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第2课时用空间向量研究夹角距离问题

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能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.空间向量夹角公式的坐标表示
设，，则
，.
2.用空间向量研究夹角、距离问题
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 两异面直线方向向量所成的角就是两异面直线所成的角.（ × ）
（2） 两个平面的夹角与两个平面所成的二面角是同一个概念.（ × ）
（3） 正方体中，向量与向量的夹角是 .（ × ）
（4） 空间直角坐标系中，，与平行的单位向量的坐标为,,.（ × ）
（5） 已知向量,，若，则,为钝角.（ × ）
2. 设两条异面直线，的方向向量分别为，，则与所成的角为（ C ）
A. B. C. D.
解：由题意，知,.所以 与 所成的角为.故选.
3. 已知，，若，，且 平面，则实数 ．
解：由题意,得 解得 则.故填.
4. 在空间直角坐标系中，已知，，，则直线和平面所成的角为 .
解：由题意，知，，.
设平面 的法向量为，则 令，可得.
设直线 和平面 所成的角为 ，则，所以.故填.分类
图示
计算公式
夹角
异面直线所成的角
，
直线与平面所成的角
，
两个平面的夹角
，
距离
点到直线的距离
（是的单位方向向量）
点到平面的距离