2025高考数学一轮知识必备练习第七章立体几何7.5空间向量与立体几何第1课时空间向量及基本应用

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2.借助特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.
3.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.
4.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.
5.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
6.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
7.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.
8.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.
9.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.空间向量及其有关概念
2.空间向量及其运算的坐标表示
（1）空间向量运算的坐标表示.
设，，则:
.
.
，.
.
（2）平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示.
设，，则:
①当时， ,,.
②当，为非零向量时， .
.
， .
（3）空间向量的坐标及两点间的距离公式.
设,，则:
.
.
3.用空间向量研究直线、平面的位置关系
常用结论
1.为的中点，为空间任一点，则.
2.向量四点共面定理：在空间中，,,,四点共面的充要条件是（其中）,为平面外任意一点.
3.设，,，若为的重心，则
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） 点关于坐标面的对称点是.（ × ）
（2） 空间中任意三个向量都可以作为基底.（ × ）
（3） 证明线面平行，只需证明直线与平面的法向量平行.（ × ）
（4） 若向量,所在的直线为异面直线，则向量,一定不共面.（ × ）
（5） 正方体的体积为.（ × ）
2. 已知,,则（ C ）
A. B. C. D.
解：.故选.
3. （教材题改编）已知，，若，则 与 的值可以是（ A ）
A. 2，B. ，C. ,2D. 2,2
解：因为，所以，
即.
所以 解得 或故选.
4. （教材题改编）如图，设，，，若，，则（ A ）
A. B. C. D.
解：如图，连接,.
则.
而，
所以.故选.名称
定义
共线（平行）向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量
共面向量
平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
共线向量定理
对于任意两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使
共面向量定理
如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
空间向量基本定理
如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组 ，使得
位置关系
向量表示
直线,的方向向量分别为，




直线的方向向量为,平面的法向量为




平面,的法向量分别为,