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2025高考数学一轮知识必备练习第六章数列6.3等比数列
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这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第六章数列6.3等比数列,共4页。试卷主要包含了体会等比数列与指数函数的关系等内容,欢迎下载使用。
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等比数列的前项和公式,理解等比数列的通项公式与前项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
4.体会等比数列与指数函数的关系.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母表示,即 ,或 .
(2)等比中项:如果在与中间插入一个数,使,,成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时, .
2.等比数列的通项公式与前 项和公式
(1)通项公式: .该式又可以写成 ,这表明时,是常数与指数函数(关于)的乘积.
(2)前项和公式:
当时,该式又可以写成,这表明时,的图象是指数型函数图象上一群孤立的点.
3.等比数列的性质
(1)与项有关的性质.
①在等比数列中,.
②在等比数列中,若,,,,,,则 .
③在公比为的等比数列中,取出项数成等差数列的项,,, ,仍可组成一个等比数列,公比是 .
④若,均为等比数列,公比分别为,,则仍为等比数列,且公比为 ;仍为等比数列,且公比为 ;仍为等比数列,且公比为 .
⑤当是公比为的正项等比数列时,数列{是等差数列,首项为,公差为 .
(2)与和有关的性质.
①等比数列连续项的和仍为等比数列,即,,, ,仍为等比数列,且公比为 (,或且为奇数).
②在等比数列中,若项数为,则.
③在等比数列中,当时, ,,.
④在等比数列中,,,.
常用结论
1.等比数列的单调性
(1)当,或,时,等比数列是递增数列.
(2)当,或,时,等比数列是递减数列.
(3)当时,等比数列是一个常数列.
(4)当时,等比数列是一个摆动数列.
2.重要关系
(1)若是各项均为正数的等比数列,则{且必为等差数列;若为等差数列,则且必为等比数列.
(2)若,则是等比数列.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1) 为,的等比中项.( × )
(2) 一个等比数列的公比大于1,则该数列递增.( × )
(3) 任何等比数列前项和都可以写成.( × )
(4) 如果数列是等比数列,那么数列是等比数列.( √ )
(5) 如果数列是等比数列,那么数列一定是等比数列.( × )
2. 在等比数列中,,则公比等于( B )
A. 2B. C. D.
解:因为,所以.故选.
3. 设正项等比数列满足,,则( C )
A. 3B. C. 2D.
解:设等比数列 的公比为,.
则,即,解得.则.故选.
4. 写出同时具有下列性质①②的一个数列,则(答案不唯一).
;,.
解:,则 可能为等比数列.又,所以数列 递减.故 符合要求.故填(答案不唯一).
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