2025高考数学一轮知识必备练习第六章数列6.2等差数列

这是一份2025高考数学一轮知识必备练习第六章数列6.2等差数列，共4页。
2.探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列的通项公式与前项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元一次函数的关系.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.等差数列的概念
（1）等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示，即 ，且或
（2）等差中项：由三个数,,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,叫做与的等差中项.根据等差数列的定义可以知道， .
2.等差数列的通项公式与前 项和公式
（1）通项公式： .该式又可以写成 ,这表明时，是关于的一次函数，且时是增函数，时是减函数.
（2）前项和公式： .该式又可以写成 ，这表明时，是关于的二次函数，且时图象开口向上，时图象开口向下.
3.等差数列的性质
（1）与项有关的性质.
①等差数列中，若公差为，则，当时， .
②在等差数列中，若，则 .特别地，若，则 .
③若数列是公差为的等差数列，则数列（ ,为常数）是公差为 的等差数列.
④若数列，是公差分别为,的等差数列，则数列（,为常数）也是等差数列，且公差为 .
⑤数列是公差为的等差数列，则从数列中抽出项,,， ，组成的数列仍是等差数列，公差为 .
（2）与和有关的性质.
①等差数列中依次项之和,,, 组成公差为 的等差数列.
②记为所有偶数项的和，为所有奇数项的和.若等差数列的项数为,则, ,;若等差数列的项数为,则（是数列的中间项）,,.
为等差数列为等差数列.
④两个等差数列，的前项和，之间的关系为 .
常用结论
1.关于 的结论
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为，等价于,以及.
（2）若（,为常数），则一定是公差为的等差数列.
2.关于 的结论
（1）等差数列前项和的最值与的单调性有关.
①若，，则数列的前面若干项为正项（或0），所以将这些项相加即得的最大值.
②若，，则数列的前面若干项为负项（或0），所以将这些项相加即得的最小值.
③若，，则是递增数列，是的最小值；若，，则是递减数列，是的最大值.
（2）是等差数列（,是常数）.若,且,则从第2项起成等差数列.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 若数列满足,则是等差数列.（ × ）
（2） 已知数列为等差数列，且公差,则是递增数列.（ √ ）
（3） 数列是等差数列，若，，，，则.（ × ）
（4） 若数列是等差数列，则数列也是等差数列.（ √ ）
（5） ,为常数，≠0,是为等差数列的充要条件.（ × ）
2. （教材题改编）已知为等差数列，,则（ B ）
A. 25B. 50C. 100D. 200
解：.故选.
3. 【多选题】已知数列，均为无穷等差数列，则下列说法正确的是（ ACD ）
A. 数列是等差数列B. 数列是等差数列
C. 是等差数列D. 若,则为等差数列
解：由等差数列的概念，知,,正确，错误.故选.
4. [2020年全国Ⅱ卷]记为等差数列的前项和.若，，则25.
解：因为在等差数列 中，，，所以，，即.
则故填25.