2025高考数学一轮知识必备练习第四章三角函数与解三角形4.6正弦定理余弦定理

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掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理
在中，若角,,所对的边分别是,,，为外接圆的半径，则
2.三角形常用面积公式
（1）（表示边上的高）.
（2）.
（3）（为三角形内切圆半径）.
（4），即海伦公式，其中为的半周长.
3.解三角形中的常用术语
（1）仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.
（2）方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点的方位角为 （如图②）.
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.北偏东 ,即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向（如图③）.北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向.南偏西等其他方向角类似.
（4）坡角与坡度:坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角 为坡角）.坡度指坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④,为坡度，）.坡度又称为坡比.
常用结论
1.常用定理
（1）三角形内角和定理：在中， ,进而有等式子.
（2）射影定理：在中，，，.
（3）角平分线定理：三角形一个内角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例.即若为角的平分线，则有比例关系.
（4）中线定理：三角形一条中线两侧所对的边平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的两倍的和.即在中，若是边上的中线，则.
需要说明的是，定理（2）（3）（4）在解答题中一般不能直接使用，需要一定的说明或由等长、等面积转化.
2.重要关系
（1）等价关系：.
（2）三角函数关系：;;；;.
（3）等差关系：若三角形的三内角,,成等差数列，则,;若三角形的三边，，成等差数列，则.
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.（ × ）
（2） 在中，.（ √ ）
（3） 在中，当时，为锐角三角形.（ × ）
（4） 在中，.（ √ ）
（5） 在三角形中，已知两边和一角,则该三角形唯一确定. （ × ）
2. （教材题改编）在中，，， ，则等于（ A ）
A. 或B. C. D. 或
解：因为，， ，所以由，得.因为,所以，所以 或 .故选.
3. 在中，，，，则（ A ）
A. B. C. D.
解：由余弦定理，知.故选.
4. 在中，，则 .
解：由正弦定理，得，则．故填．
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式

,
,

常见变形
, , .
,,.
.
,,
,
,