2025高考数学一轮知识必备练习第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用

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2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.
必备知识 温故知新
【教材梳理】
几类函数模型
自主评价 牛刀小试
1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1） 幂函数增长比直线增长更快.（ × ）
（2） 由“指数爆炸”可知，当时，.（ × ）
（3） 在上，随着的增大，的增长速度会超过并远远大于的增长速度.（ √ ）
（4） 某种商品进价为每件100元，按进价增加出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.（ √ ）
（5） 研究如何制定当地阶梯电价方案时，宜选用分段函数.（ √ ）
2. 如图,公园里有一处扇形花坛,小明同学从点出发,沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈,则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是 （ D ）
A. B. C. D.
解：小明沿 走时,与点 的直线距离保持不变.沿 走时,随时间增加与点 的距离越来越小.沿 走时,随时间增加与点 的距离越来越大.故选.
3. 某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后，空气中每立方米药物残留量（单位：）与时间（单位：）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示散点图.
现拟从下列四个函数模型中选择一个估计与的关系，则应选用的函数模型是（ B ）
A. B.
C. D.
解：由散点图，可知函数在 上单调递减，且散点分布在一条曲线附近.函数 的图象为一条直线，不合题意.
函数 的图象为一条曲线，且当 时，该函数单调递减,符合题意.
函数 在区间 上单调递增，不合题意.
由对勾函数的单调性，可知函数 在区间,上单调递减，在区间,上单调递增，不合题意.故选.
4. 某商品价格（单位：元）因上架时间（单位：天）的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即，且，.已知商品上架第1天的价格为96元，上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为40.5元.
解：由题意，可得 结合 且，可得 即.则该商品上架第4天的价格为（元）.故填40.5.函数模型
函数解析式
一次函数模型
,为常数,
反比例函数模型
,为常数,且
二次函数模型
,,为常数,
指数函数模型
,,为常数，且，
对数函数模型
,,为常数，且，
幂函数模型
,为常数,