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2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计专题突破17数字特征的性质
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计专题突破17数字特征的性质,共5页。试卷主要包含了基本性质,变动样本的数字特征,推断问题等内容,欢迎下载使用。
考点一 基本性质
例1
(1) 【多选题】有一组样本数据,, ,,其平均数、中位数、标准差、极差分别记为,,,.由这组数据得到新样本数据,, ,,其中,其平均数、中位数、标准差、极差分别记为,,,,则 ( AD )
A. B. C. D.
解:由,得.
根据中位数的定义,得.
根据数据方差的性质,得,则.
根据数据极差的定义,得,故,正确故选.
(2) 已知一组正数,,,,的方差为,则另一组数据,,,,的平均数为 ( B )
A. 4B. 5C. 6D. 7
解:由,可得.又,所以.
故数据,,,,的平均数为.故选.
【点拨】①一组数据,, ,变为,, ,,则用,计算平均数、方差等数字特征.
变式1
(1) [2021年新课标Ⅰ卷]【多选题】有一组样本数据,, ,,由这组数据得到新样本数据,, ,,其中,为非零常数,则( CD )
A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同
解:对于,,且,故平均数不相同,错误.
对于,若第一组中位数为,则第二组中位数为,显然不相同,错误.
对于,,故方差相同,正确.
对于,由极差的定义知,若第一组的极差为,则第二组的极差为,故极差相同,正确.
故选.
(2) 若一组数据,, ,的平均数为3,方差为11,则200.
解:由题意,知,
则.
即,所以,故填200.
考点二 变动样本的数字特征
例2
(1) 已知某8个数据的平均数为5,方差为3,现又加入一个新数据5,此时这9个数的平均数为,方差为,则( B )
A. ,B. ,C. ,D. ,
解:,.故选.
(2) [2020年全国Ⅲ卷]在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为,,,,且,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是( B )
A. ,B. ,
C. ,D. ,
解:由所有选项,知,,且,则这组数据的均值为.由方差的定义,知离样本均值越远的点,出现的频率越大,则样本数据越离散,即方差越大,亦即标准差越大,故选项 的标准差最大.
另解:也可直接求出标准差再比较大小.故选.
【点拨】①样本数据(不全相等)中增加一个平均值后,极差不变,标准差变小,中位数不确定.②删掉样本数据(不全相等)中的最小值和最大值后,中位数不变,平均数不确定,极差、标准差变小或不变.
变式2
(1) 某校2023年秋季入学考试中,某班数学平均分为125分,方差为.分析成绩时发现有三名同学的成绩录入有误,A同学的实际成绩为137分,被错录为118分;B同学的实际成绩为115分,被错录为103分;C同学的实际成绩为98分,被错录为129分.更正后重新统计,得到方差为,则与的大小关系为 ( C )
A. B. C. D. 不能确定
解:设班级人数为.因为,所以更正前后平均分不变.
且,所以.
故选.
(2) [2023年新课标Ⅰ卷]【多选题】有一组样本数据,, ,,其中是最小值,是最大值,则( BD )
A. ,,,的平均数等于,, ,的平均数
B. ,,,的中位数等于,, ,的中位数
C. ,,,的标准差不小于,, ,的标准差
D. ,,,的极差不大于,, ,的极差
解:取,,,则,,,的平均数等于2,标准差为0,,, ,的平均数等于3,标准差为,故,均不正确.
根据中位数的定义,将,, ,按从小到大的顺序进行排列,易知,,,的中位数与,, ,的中位数相等,故 正确.
根据极差的定义,知,,,的极差不大于,, ,的极差,故 正确.故选.
考点三 推断问题
例3 【多选题】某环保局对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导,若连续10天,每天空气质量指数(单位:)不超过100,则认为该地区环境治理达标,否则认为该地区环境治理不达标.根据连续10天检查所得数据的数字特征推断,环境治理一定达标的地区是( AD )
A. 甲地区:平均数为80,方差为40B. 乙地区:平均数为50,众数为40
C. 丙地区:中位数为50,极差为60D. 丁地区:极差为10,分位数为90
解:设每天的空气质量指数为,则方差.
对于,由,得.若这10天中有1天的空气质量指数超过100,则必有,矛盾,正确.
对于,若有8天的空气质量指数为40,有1天的空气质量指数为150,有1天的空气质量指数为30,则平均数为50,众数为40,但该地区环境治理不达标,所以 错误.
对于,若第1天的空气质量指数为110,后面9天的空气质量指数为50,则中位数为50,极差为60,但该地区环境治理不达标,所以 错误.
对于,若最大值超过100,根据极差为10,则最小值超过90,这与 分位数为90矛盾,故最大值不超过100,正确.故选.
【点拨】统计推断关键在于利用基本统计知识进行逻辑推理,常用技巧有特值法、极限法等,重在考查数据分析核心素养.
变式3 四名同学各掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,根据四名同学的统计结果,可以判断出一定没有出现点数6的是 ( A )
A. 平均数为2,方差为2.4B. 中位数为3,方差为1.6
C. 中位数为3,众数为2D. 平均数为3,中位数为2
解:对于,若5次结果中有6,则方差,矛盾.所以当平均数为2,方差为2.4时,一定不会出现点数6,故 正确.
对于,当点数为3,3,3,5,6时,中位数为3,平均数为4,则方差,故 错误.
对于,当点数为2,2,3,5,6时,中位数为3,众数为2,故 错误.
对于,当点数为1,1,2,5,6时,中位数为2,平均数为3,故 错误.故选
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