2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.6事件的相互独立性条件概率与全概率公式

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.6事件的相互独立性条件概率与全概率公式，共7页。试卷主要包含了相互独立事件，条件概率，全概率公式的应用等内容，欢迎下载使用。
例1
（1） [2021年新课标Ⅰ卷]有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则（ B ）
A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立
解：（甲）,（乙）,（丙）,（丁）.因为（甲丙）（甲）（丙）,所以甲与丙不独立,错误.（甲丁）（甲）（丁）,所以甲与丁相互独立,正确.（乙丙）（乙）（丙）,所以乙与丙不独立,错误.（丙丁）（丙）（丁）,所以丙丁不独立,错误.故选.
（2） 以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励.已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为,,，且三个小组各自独立进行科研攻关.求:
① 甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率;
解：设甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题分别为事件，，，即,,，且,,相互独立.
[答案]甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为.
② 只有甲小组受到奖励的概率;
[答案]只有甲小组受到奖励的概率为.
③ 受到奖励的小组数是2的概率.
[答案]
设受到奖励的小组数为，则
.
所以受到奖励的小组数是2的概率为.
【点拨】判断事件相互独立，一般用定义判断.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较繁（如求用“至少”表达的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
变式1
（1） 【多选题】一个装有6个小球的口袋中，有编号为1，3的两个红球，编号为2，4的两个蓝球，编号为5，6的两个黑球．现从中任意取出两个球，设事件“取出的两球颜色相同”，“取出的两球编号之差的绝对值为1”，“取出的两球编号之和为6或7”，“取出的两球编号乘积为5”，则下列说法正确的是（ ABD ）
A. 事件与事件相互独立B. 事件与事件相互独立
C. 事件与事件相互独立D. 事件与事件互斥
解：样本空间，，，，，，，，，，，，，，，.
事件，，，所以.
事件，，，，，所以.
事件，，，，，所以.
事件，所以.
事件，，分别为，，.
对于，，正确.
对于，，正确.
对于，，错误.
对于，事件 与事件 不能同时发生，故事件 与事件 互斥，正确.故选.
（2） “11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.在某局双方平后，
① 若甲先发球，求两人又打了2个球后该局比赛结束的概率；
解：记两人又打了 个球后结束比赛.
设“双方 平后的第 个球甲获胜”为事件.
[答案]
若甲先发球，则
所以两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为0.5.
② 若乙先发球，求两人又打了4个球后该局比赛结束，且甲获胜的概率.
[答案]
由乙先发球，得（且甲获胜）.
所以两人又打了4个球后该局比赛结束，且甲获胜的概率为0.1.
考点二 条件概率
例2 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件为“取到的2个数之和为偶数”，事件为“取到的2个数均为偶数”，则（ B ）
A. B. C. D.
解：（方法一），，.
（方法二）事件 包含的样本点有，，，，共4个.事件 包含的样本点只有，即.得.故选.
【点拨】解决条件概率问题的步骤：第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“在……条件下”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率；题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率.若为条件概率，则进行第二步，计算概率，这里有两种思路.思路一：缩减样本空间法计算条件概率.如求，可分别求出事件，包含的基本事件的个数，再利用公式计算.思路二：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出，，再利用公式计算.
变式2
（1） [2023年全国甲卷]某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ A ）
A. 0.8B. 0.6C. 0.5D. 0.4
解：同时爱好两项的概率为.
记“该同学爱好滑雪”为事件,“该同学爱好滑冰”为事件，则,.
所以.故选.
（2） 【多选题】设,是一个随机试验中的两个事件，且,,，则（ ACD ）
A. B.
C. D.
解：对于，因为，,所以.故 正确.
对于，因为，所以.所以.故 错误.
对于，因为，所以.所以，，所以.故 正确.
对于，因为，即，所以.所以.故 正确.故选.
考点三 全概率公式的应用
例3
（1） 设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为，，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，，则甲正点到达目的地的概率为（ C ）
A. 0.78B. 0.8C. 0.82D. 0.84
解：设事件 表示“甲正点到达目的地”，事件 表示“甲乘动车到达目的地”，事件 表示“甲乘汽车到达目的地”.由题意,知,,,.由全概率公式,得.故选.
（2） 有5张奖券，其中3张可以中奖，现有5个人从中不放回地依次各随机抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽中中奖券”，则下列结论正确的是 （ C ）
A. 事件与互斥B. C. D.
解：事件 与 可以同时发生,根据互斥事件的定义,知 错误.
由全概率公式，得,故 错误.
由概率的乘法公式，得,故 正确.
根据题意，得,所以,故 错误.故选.
【点拨】利用全概率公式解题的思路如下.①按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件.②求和所求事件在各个互斥事件发生条件下的概率.③代入全概率公式计算.
变式3
（1） 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为（ D ）
A. 0.48B. 0.49C. 0.52D. 0.51
解：设事件“发送的信号为0”，事件“接收的信号为1”.则，，.因此.故选.
（2） 【多选题】甲袋中有3个红球、3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球、2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，C表示事件“取出的是红球”“取出的是白球”“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是白球”，则下列结论中正确的是 （ ACD ）
A. 事件，，是两两互斥的事件B. 事件与事件为相互独立事件
C. D.
解：由题意，得，，，显然事件，，是两两互斥的事件，故 正确.
，故 正确..
因为，所以事件 与事件 不是相互独立的，故 错误.
，故 正确.故选.