2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.1随机抽样与用样本估计总体

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第九章概率与统计9.1随机抽样与用样本估计总体，共9页。试卷主要包含了随机抽样，用样本估计总体等内容，欢迎下载使用。
例1 【多选题】某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为：抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是 （ AB ）
A. 这次抽样可能采用的是抽签法
B. 这次抽样不可能是按性别比例分配的分层随机抽样
C. 这次抽样中，每个男生被抽到的概率一定小于每个女生被抽到的概率
D. 这次抽样中，每个男生被抽到的概率不可能等于每个女生被抽到的概率
解：总体中个体数不多，此次抽样可能采用的是抽签法，正确.
若按性别比例分配，则抽得的男、女生人数应分别为4人，3人，所以这次抽样不可能是按性别比例分配的分层随机抽样，正确.随机抽样中，每个男生被抽到的概率和每个女生被抽到的概率均相等，,错误.
故选.
【点拨】①当总体由差异明显的几部分组成时，多用分层随机抽样.②比例分配的分层随机抽样中,若第一、二层的样本容量分别为,,平均数分别为,,则样本平均数为.
变式1 为响应“强身健体，智慧学习”倡议，复兴中学开展了一次学生体质健康监测活动.已知高三（2）班有50名学生，其中男生28人，女生22人，按性别比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为25的样本.
（1） 女生应抽取11人；
解：女生应抽取（人）.
（2） 已知样本中男生、女生的平均体重分别为和.估计高三（2）班全体学生的平均体重为54.5（精确到）.
[解析]样本中男生有14人，故样本平均数为，估计全体学生的平均体重约为.
考点二 用样本估计总体
命题角度1 总体取值规律的估计
例2 【多选题】某研究性学习小组为了解某校2 000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，随机抽取了一个容量为的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示.已知样本中位于区间的人数为20人，则以下说法正确的是 （ ABC ）
A.
B.
C. 估计该样本数据的平均数为74
D. 估计全校社会实践时间在以上的学生约为180人
解：由，得，故 正确.
因为样本中位于区间 的人数为20人，所以，得，故 正确.
平均数为，故 正确.
因为样本中社会实践时间在 以上的频率为，所以估计全校社会实践时间在 以上的学生约为（人），故 错误.故选.
【点拨】①在频率分布直方图中，每个小矩形的面积就是相应的频率或概率，所有小矩形的面积之和为1.②频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，并不是频率，不要和条形图混淆.
变式2
（1） 某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率分布直方图，组距为5，且第一组下限为，则组数为7.
解：极差为，组距为5，且第一组下限为，，故组数为7.故填7.
（2） [2021年全国甲卷]为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ C ）
A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为
B. 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
解：因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率,样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故 正确.
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故 正确.
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故 正确.
由对称性（以7.5为对称轴），并进行割补，可知平均值超过7（大致在7.5附近），故 错误（或直接计算：该地农户家庭年收入的平均值的估计值为（万元），超过了6.5万元，故 错误.故选.
命题角度2 总体百分位数的估计
例3
（1） “双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：
则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是 （ C ）
A. 8B. 8.5C. 9D. 10
解：由，故第75百分位数为借书数量从小到大排序后的第38项数据.又，故上四分位数是9.故选.
（2） 某大型联考有16 000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩不低于515分的人数至少有 （ D ）
A. 6 000人B. 6 240人C. 6 300人D. 6 400人
解：成绩不低于515分的人数至少有（人）.故选.
【点拨】计算一组个数据的第百分位数的一般步骤.①排列：按照从小到大排列原始数据.②计算计算定数：若不是整数，大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.
变式3
（1） 某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是92.5.
解：因为，所以第70百分位数是从小到大排列的第14和15个数据的平均数.所以第70百分位数为.故填92.5.
（2） 已知一组数据从小到大排列为4，5，6，8，，13，18，30，若这组数据的第80百分位数是中位数的两倍，则（ C ）
A. 12B. 11C. 10D. 9
解：这组数据的中位数为.因为，所以这组数据的第80百分位数为第7个数，即18.则，解得.故选.
命题角度3 总体集中趋势的估计
例4 【多选题】某校举办了迎新年知识竞赛，随机选取了100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列说法正确的是 （ ABC ）
A. 中位数为70B. 众数为75C. 平均数为68.5D. 平均数为70
解：区间 内人数的频率为.
因为最高小矩形的中点横坐标为75，显然众数是75，故 正确.
区间 内人数的频率是，区间 内人数的频率是，区间 内人数的频率是，其频率和为，所以中位数为70，故 正确.平均数为，所以 正确,错误.
故选.
【点拨】①频率分布直方图中众数为最高矩形中点的横坐标.中位数左边和右边的直方图的面积相等.求中位数，一般先确定中位数所在的区间，再利用“较低累积频率（区间左端点值） 区间纵坐标”，求得即可.平均数为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．②一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数.
变式4 平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在下图两种分布形态中，,,,分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（ A ）
A. 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数
B. 为平均数，为中位数，为平均数，为中位数
C. 为中位数，为平均数，为中位数，为平均数
D. 为平均数，为中位数，为中位数，为平均数
解：在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组数据的中间值乘频率再相加之和.结合两个频率分布直方图，得 为中位数，为平均数，为平均数，为中位数.故选.
命题角度4 总体离散程度的估计
例5 某果园试种了A，B两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记A，B两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和.
（1） 分别求这两个品种产量的极差和中位数；
解：这10棵A品种桃树的产量从小到大分别为30，40，50，50，60，60，70，70，80，90.
这10棵A品种桃树产量的极差为，中位数为.
这10棵B品种桃树的产量从小到大分别为20，40，50，50，60，60，70，80，80，80.
这10棵B品种桃树产量的极差为，中位数为.
（2） 求，，，；
[答案]
.
.
.
.
（3） 果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果,分析选种哪个品种更合适?并说明理由.
[答案]
由（1）可知这两个品种产量的极差和中位数都相等，由（2）可知，，
则A品种桃树平均产量高，波动小，所以应该选种A品种桃树.
【点拨】①方差公式可变形为.②分两层数据的总样本方差.
变式5 [2023年全国乙卷]某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，.试验结果如下：
记，记,, ,的样本平均数为，样本方差为.
（1） 求，；
解：的值分别为9,6,8,,15,11,19,18,20,12，.
故.
（2） 判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.
[答案]由（1）知，，，故有.所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
课外阅读·社会民生中的数据分析
生活生产中处处有数学，高考强化数学应用，关注社会民生，统计中体现得更为明显.统计图表中除了茎叶图、散点图、频率分布直方图、折线图外，扇形统计图、雷达图、等高条形图、柱形图等也是近年高考热点.难度不高，多与实际生活结合紧密，考查考生阅读理解能力及数据分析核心素养，考查应用意识.一般只要仔细读题、分析，即可解决.
1. [2023年上海卷]如图为年上海市货物进出口总额的条形统计图，则下列对于进出口贸易额描述错误的是 （ C ）
年中国进出口总额统计图
A. 从2018年开始，2021年的进出口总额增长率最大
B. 从2018年开始，进出口总额逐年增大
C. 从2018年开始，进口总额逐年增大
D. 从2018年开始，2020年的进出口总额增长率最小
解：显然2021年相对于2020年进出口总额增加特别明显，故2021年的增长率最大，正确.
统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故 正确.
2020年相对于2019年的进口总额减少，故 错误.
2021年的进出口总额增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母更大，故2020年的增长率一定最小，正确.故选.
2. 【多选题】人均消费支出是社会需求的主体，是拉动经济增长的直接因素，是体现居民生活水平和质量的重要指标.2022年一季度和2023年一季度我国居民人均消费支出分别为6 393元和6 738元，图1、图2分别为2022年一季度和2023年一季度居民人均消费支出构成分布图，则 （ AD ）
A. 2022年一季度和2023年一季度居民食品烟酒人均消费支出均超过人均总消费支出的
B. 2023年一季度居民食品烟酒、衣着、居住各项人均消费支出占比较上年同期均有所降低
C. 2023年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出
D. 2023年一季度居民人均消费支出比上年同期增长约
解：对于，2022年一季度居民食品烟酒人均消费支出占人均总消费支出的，2023年一季度居民食品烟酒人均消费支出占人均总消费支出的，故 正确.
对于，2022年一季度居民居住人均消费支出占人均总消费支出的，2023年一季度居民居住人均消费支出占人均总消费支出的，故错误.
对于，2022年一季度居民人均交通通信支出为（元），2023年一季度居民人均交通通信支出为（元），故错误.
对于，因为，故正确故选.借书数量/本
5
6
7
8
9
10
频数/人
5
8
13
11
9
4

60
50
40
60
70
80
70
30
50
90

40
60
50
80
80
50
60
20
80
70
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536