2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.6双曲线

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.6双曲线，共9页。试卷主要包含了双曲线的定义及标准方程，双曲线的几何性质，双曲线的综合问题等内容，欢迎下载使用。

例1
（1） 已知动点满足，则动点的轨迹是（ A ）
A. 射线B. 直线C. 椭圆D. 双曲线的一支
解：设,.由题意,知动点 满足，故动点 的轨迹是射线.故选 .
（2） 若双曲线的左、右焦点分别为,，点在双曲线上，且，则（ B ）
A. 1B. 13C. 1或13D. 15
解：由题意，得,,,而,解得 或1.
而,所以.故选 .
（3） 经过点，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 .
解：设双曲线的方程为，
把点 代入，得（负值舍去）.
故所求方程为.故填 .
（4） 已知双曲线，点，为其两个焦点，为双曲线上一点，若，则的面积是（ C ）
A. 4B. 2C. 1D.
解：由双曲线方程,知，.
所以，
两边平方,得.
因为，所以.因此可得.
所以.故选.
【点拨】①双曲线定义的应用主要有两个方面,一是轨迹问题,二是焦点三角形问题.②求双曲线的标准方程一般用待定系数法,当双曲线焦点的位置不确定时，常设双曲线方程为.
变式1
（1） 已知圆，圆，动圆与，都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ A ）
A. B.
C. D.
解：设动圆 的半径为.由题意，知，，则.所以点 的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，且，，.则点 的轨迹方程为.故选 .
（2） 与椭圆共焦点,且过点的双曲线方程为 .
解：由椭圆方程,知焦点坐标为.设双曲线方程为，则 解得 所以双曲线方程为.故填 .
（3） 设，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在双曲线上,且，则的面积为9.
解：由双曲线定义,知，.因为，所以点 在以 为直径的圆上，即 是以 为直角顶点的直角三角形.故，即.
又，
所以，
解得，所以.故填9.
考点二 双曲线的几何性质
命题角度1 渐近线
例2
（1） [2021年全国甲卷]点到双曲线的一条渐近线的距离为（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意,知双曲线的渐近线方程为，即.结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离.故选 .
（2） 与双曲线共渐近线，且经过点,的双曲线的标准方程是（ A ）
A. B. C. D.
解：设所求的双曲线方程为.由双曲线经过点,，得.则所求双曲线的标准方程为.故选.
【点拨】求双曲线或的渐近线方程,一般令右边的常数等于0.双曲线焦点到渐近线的距离为,这个结论要熟记.
变式2
（1） 已知双曲线的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（ A ）
A. B. C. D.
解：（方法一）由双曲线 的焦点 到渐近线 的距离为，得，可得，则，则 的渐近线方程为.
（方法二）设渐近线 的倾斜角为，则，则，所以，故渐近线方程为.
故选 .
（2） 过双曲线的右顶点作轴的垂线，与的一条渐近线交于点.若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点（为坐标原点），则双曲线的标准方程为 .
解：由题意,得，,且.又，解得，.因此双曲线 的标准方程为.故填.
命题角度2 离心率
例3
（1） [2021年全国甲卷]已知,是双曲线的两个焦点，为上一点，且 ,，则的离心率为（ A ）
A. B. C. D.
解:因为，由双曲线的定义可得，所以，.因为 ,在 中，由余弦定理可得 ，整理可得，所以，即.故选 .
（2） [2022年全国甲卷]记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值2（满足皆可）.
解： 的渐近线方程为.
结合渐近线的特点，只需，即，
可满足条件“直线 与 无公共点”.
所以.
又因为，所以.
故填2（满足 皆可）.
【点拨】求离心率的基本方法有两种.①求及或的值，由求.②列出含有，，的齐次式（或不等式），借助于消去，然后转化成关于的方程（或不等式）求解.
变式3
（1） 在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 .
解：因为双曲线 的渐近线方程为，所以，所以.则离心率.故填 .
（2） 双曲线的左、右焦点分别为,,若双曲线的右支上存在一点，使得为钝角等腰三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）
A. B. C. D.
解：当 时，.因为 为钝角等腰三角形，所以，且 为钝角，所以，即.所以.结合,解得.故选.
考点三 双曲线的综合问题
例4 已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
（1） 求双曲线的方程；
解：设双曲线 的方程为，则，，.
故双曲线 的方程为.
（2） 若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的取值范围.
[答案]
联立
得.
由直线 与双曲线 交于不同的两点，得

所以，且.
设，，
则，.
所以
.
由，得.
所以，即，解得.
由①②得.
故 的取值范围为.
【点拨】双曲线的综合问题一般常与其他知识综合在一起考查，如直线、圆、椭圆、抛物线、不等式、三角函数、向量等，要求灵活运用相关知识解题.
变式4 已知双曲线的一条渐近线方程为，且顶点到渐近线的距离为.
（1） 求此双曲线的方程；
解：依题意，得 解得
故双曲线的方程为.
（2） 设为双曲线上一点，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求的面积.
[答案]
由（1）知双曲线的渐近线方程为.
设，，其中，.
由，得点 的坐标为,.
将点 的坐标代入，
整理得.设 ，
因为，所以，从而.
又，，
所以.