2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.4直线与圆圆与圆的位置关系

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B. 若点在圆内，则直线与圆相离
C. 若点在圆外，则直线与圆相离
D. 若点在直线上，则直线与圆相切
解：对于，因为点 在圆 上，所以.圆心 到直线 的距离，所以直线 与圆 相切，正确.
对于，因为点 在圆 内，所以.圆心 到直线 的距离，所以直线 与圆 相离，正确.
对于，因为点 在圆 外，所以.圆心 到直线 的距离，所以直线 与圆 相交，错误.
对于，因为点 在直线 上，所以.圆心 到直线 的距离，所以直线 与圆 相切，正确.故选 .
（2） 若过点的直线与圆有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ D ）
A. ,B. C. ,D. ,
解：显然直线 的斜率存在.
（方法一）设直线 的方程为.联立 得.根据题意,知,即,解得.
（方法二）设直线 的方程为.直线 与圆有公共点，则圆心 到直线 的距离,即,解得.故选.
【点拨】判断直线与圆的位置关系常见的方法.①几何法：利用与的关系.②代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用 判断.③点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交；若点在圆上，直线与圆可能相切，也可能相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法更适用于动直线问题.
变式1
（1） 直线与圆的公共点个数为 （ D ）
A. 0B. 1C. 2D. 1或2
解：将直线 的方程变形为，可得 所以直线 过定点，因为，即点 在圆 上，所以直线 与圆 相交或相切.故选 .
（2） [2020年浙江卷]已知直线与圆和圆均相切，则 ， .
解：由题意，两圆圆心,到直线 的距离都等于半径，即，所以，即（舍去）或.解得,.故填;.
考点二 圆与圆的位置关系
例2
（1） 当实数为何值时，两圆，相交、相切、相离？
解：将两圆的一般方程化为标准方程，得，，则圆 的圆心为，半径；
圆 的圆心为，半径，.
从而.
当，即，
即 时，两圆相交.
当，即 时，两圆外切；
当，即 时，两圆内切，
所以当 或 时，两圆相切.
当，即 时，两圆相离.
（2） 圆与圆的公共弦所在直线的方程为 ，公共弦长为 .
解：联立 两式相减并化简，得两圆公共弦所在直线的方程为.
设两圆相交于，两点，则，两点的坐标满足方程组 解得 或 所以，即公共弦长为.故填;.
【点拨】①判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.②若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去,项得到.
变式2
（1） 【多选题】已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（ CD ）
A. B. 3C. 2D.
解：圆 的标准方程为，圆心为，半径.圆 的圆心为，半径.
依题意,两圆的圆心距 满足,即.满足条件的只有 和.
故选 .
（2） 若圆与圆的公共弦长为，则的值为（ B ）
A. 2B. C. 1D.
解：两圆的方程作差，可得公共弦所在的直线方程为.原点 到直线 的距离为.由弦长公式，得，解得.故选.
考点三 直线与圆的位置关系的综合问题
命题角度1 圆的弦长问题
例3 【多选题】已知圆，直线.下列说法正确的是（ BD ）
A. 直线恒过定点
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 直线被圆截得的弦长存在最大值，此时直线的方程为
D. 直线被圆截得的弦长存在最小值，此时直线的方程为
解：对于，将直线 的方程整理为，由 得 则直线 恒过定点，故 错误.
对于，将 代入圆 的方程，得，解得，故圆 被 轴截得的弦长为，故 正确.
对于，圆心 到直线 的距离,显然 不存在最小值,从而弦长 不存在最大值,故 错误.
对于，当截得的弦长最短时，直线 垂直于圆心 与定点 的连线.,则直线 的斜率为，此时直线 的方程为，即，故 正确.故选.
【点拨】弦长的两种求法.①代数法.将直线和圆的方程联立，消元后得到一个一元二次方程.在判别式的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.②几何法.若弦心距为，圆的半径长为，则弦长.
变式3
（1） 已知直线与圆相交于，两点，当取得最大值时，（ C ）
A. B. C. 1D. 3
解：圆 的圆心为.由圆的性质,可知当直线 过圆心时，弦长 取得最大值，所以，解得.故选 .
（2） [2023年新课标Ⅱ卷]已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值，，，中任意一个皆可以.
解：设点 到直线 的距离为，由弦长公式,得.所以，解得 或.由，得 或，解得 或.故填 ， ， ， 中任意一个皆可以 .
命题角度2 圆的切线问题
例4 已知圆，分别求满足下列条件的圆的切线方程.
（1） 与直线垂直；
解：设切线方程为，则，所以.所以切线方程为.
（2） 过点.
[答案]可知点 在圆上，故其为切点.因为，所以过切点 的切线斜率为.所以切线方程为，即.
【点拨】①求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条.②若能熟记本节常用结论,往往能更快速求解,如例4第（2）问,直接用,可迅速得到切线方程.
变式4
（1） 已知直线及圆，过直线上任意一点作圆的一条切线，为切点，则的最小值是（ A ）
A. B. C. D.
解：根据题意，知圆 的圆心，半径，则.
当 取得最小值时，取得最小值.又 的最小值为点 到直线 的距离,所以 的最小值为.故选 .
（2） [2022年新课标Ⅰ卷]写出与圆和都相切的一条直线的方程（答案不唯一）.
解：圆 的圆心为，半径为1.圆 的圆心为，半径为4.两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切.
如图，当切线为 时，因为，所以.
设 的方程为,则点 到 的距离，解得，所以 的方程为.
当切线为 时，设 的方程为，其中，.
由题意,得 解得
所以.
当切线为 时，易知 的方程为.
故填（答案不唯一）.
课外阅读·“隐形圆”问题
在解析几何问题中，有些问题的条件并没有直接给出圆的信息，而是隐藏在题目中，需要分析、转化发现“隐形圆”，进而求解，这是数形结合的体现.常见确定“隐形圆”的方法如下：①利用圆的定义或者垂直关系（动点与两定点连线的夹角为直角等）确定“隐形圆”；②利用圆的性质（圆周角的性质、四点共圆等）确定“隐形圆”；③利用代数关系式确定“隐形圆”，如对于两定点，，动点满足（阿波罗尼斯圆）、 或（ 为定值）等.
1. 已知原点到直线的距离为1,圆与直线相切, 则满足条件的直线有（ C ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
解：原点到直线 的距离为1,则直线 与圆 相切.
又直线 与圆 相切, 所以 为两圆的公切线.
又两圆的圆心距,所以两圆外切,有3条公切线.
故选.
2. 【多选题】已知点，圆上存在点，满足，则的取值可能是（ ABC ）
A. 1B. C. D. 0
解：设，由，得点 的轨迹方程为.
圆 上存在点，满足，即圆 与圆 有公共点,则，解得 故选.