2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.3圆的方程

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.3圆的方程，共9页。
（1） 过，两点，且半径为4的圆的标准方程为或.
解：由题意,得,所以 中垂线的斜率为.又 的中点坐标为，所以线段 的中垂线方程为,整理得.由于圆心在中垂线上,所以设圆心坐标为，则圆的标准方程为.由，解得 或.故所求圆的标准方程为 或.故填或.
（2） 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为 .
解：（方法一）由已知，所以 的中垂线方程为.
过点 且垂直于直线 的直线方程为，即.
联立①②，解得 所以圆心坐标为，半径.
所以圆 的方程为.
（方法二）设圆的方程为.
因为点，在圆上，
所以
又因为，解得，，.
故所求圆的方程为.
故填.
【点拨】求圆的方程的方法主要是几何法与代数法.①几何法确定圆心的位置的方法一般有:圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；两圆相切时，切点与两圆圆心共线.②确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形（即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形），并解此直角三角形.③代数法即设出圆的方程（标准方程或一般方程），用“待定系数法”求解，，或，，.
变式1
（1） [2022年全国甲卷]设点在直线上，点和均在上，则的方程为 .
解：（方法一）设圆心,半径为,则，解得.所以 的方程为.
（方法二）设,,则圆心 为线段 的垂直平分线 与已知直线 的交点.设半径为,则.故所求 的方程为.
故填.
（2） 半径为2，且与轴和直线都相切的一个圆的方程为（答案不唯一）.
解：易知直线 的倾斜角为 ，则圆心所在直线的倾斜角为 或 .
即圆心所在直线方程为 或.
因为圆的半径为2，且与 轴相切，所以圆心的横坐标为，从而圆心坐标为,,,,,或,.
故圆的方程为,,或.
故填（答案不唯一）.
考点二 曲线的轨迹问题
例2 已知的斜边为，且，.求：
（1） 直角顶点的轨迹方程；
解：（方法一）设.因为，，三点不共线，所以.
因为，且，的斜率均存在，所以.
又，，所以，化简得.
因此，直角顶点 的轨迹方程为.
（方法二）设 的中点为，由中点坐标公式得，由直角三角形的性质知.由圆的定义，知动点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆（由于，，三点不共线，所以应除去与 轴的交点）.所以直角顶点 的轨迹方程为.
（2） 直角边的中点的轨迹方程.
[答案]
设，.因为，是线段 的中点，由中点坐标公式得，，所以，.
由①，知点 的轨迹方程为，
将，代入得，即.
因此动点 的轨迹方程为.
【点拨】求与曲线轨迹有关的问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法.①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.②定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程.③几何法：利用圆的几何性质列方程.④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
变式2
（1） 已知圆，过点作圆的任意弦，则这些弦的中点的轨迹方程为 .
解：设.易得圆心.
因为 是过点 的弦的中点，所以.又，，所以.所以点 的轨迹方程为.故填.
（2） 已知圆的方程为，过圆上的一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量（为坐标原点），则动点的轨迹方程为 .
解：设点 的坐标为，点 的坐标为，则点 的坐标为.
因为，所以，则，.
因为点 在圆 上，所以，即.所以动点 的轨迹方程为.
故填.
考点三 与圆有关的最值问题
例3 已知实数，满足方程，求:
解：原方程可化为，表示以 为圆心，为半径的圆.
（1） 的最大值；
[答案]
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设，即.当直线 与圆相切时（如图1），斜率 取最大值或最小值，此时，解得.所以 的最大值为.
图1
（2） 的最大值和最小值；
[答案]
（方法一）可看作是直线 在 轴上的截距.
如图2所示，当直线 与圆相切时，纵截距 取最大值或最小值.
图2
此时，解得.所以 的最大值为，最小值为.
（方法二）令 , ,,则.
（3） 的最大值和最小值.
[答案]
（方法一）表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识，知在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,所以 的最大值是，的最小值是.
（方法二）令 , ,,.
【点拨】求解与圆相关的最值问题，基本思路是利用数形结合思想转化（有时也可用参数方程求解）已知圆的半径为，则圆上一点到圆外一点的距离的最大值和最小值分别为，；圆上的点到与该圆相离的某条直线的距离的最大值和最小值分别为，，其中为圆心到直线的距离.②与圆上点有关代数式的最值.形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题.形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题.形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.形如型的最值问题，可转化为动点到直线距离的倍的最值问题.③求解形如（其中，均为动点）且与圆有关的折线段最值问题的基本思路：一是“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离;二是“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
变式3
（1） 设点是圆上任一点，则点到直线距离的最大值为（ C ）
A. B. C. D.
解：因为 的圆心坐标为，半径为，所以圆心到直线 的距离为.因此点 到直线 距离的最大值为.故选.
（2） 设是圆上的任意点，则的最大值为（ D ）
A. 6B. 25C. 26D. 36
解：因为圆 的半径为1，圆心坐标为，该圆心到点 的距离为，所以圆 上的点到 距离的最大值为，即 的最大值为36.也可用参数方程求解.故选.
（3） 设是圆上的动点，定点，，则的最大值为12.
解：由题意，知，，所以.
（方法一）因为 是圆上的点，所以.所以.易知,所以当 时，的值最大，最大值为.
（方法二）因为 是圆上的点,所以 表示点 与原点距离的平方.由圆的几何性质,知所求最大值为.故填12.
课外阅读·阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆是平面几何中的一个经典问题，教材中有多个例题、习题以其为背景设计，高考也常有涉及.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结论：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，，为两定点，动点满足.则当时，动点的轨迹为直线；当,且时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.
1. 若点，点，动点满足，则动点的轨迹方程为或.
解：设，则,.由题意,得,即,化简得 或.故填或.
2. 在中，，，则的面积最大值为 .
解：不妨设,,,则,化简得.设圆心为，显然当 轴时，面积最大，此时.所以.故填.