2025高考数学一轮考点突破训练第八章平面解析几何8.2直线的交点坐标与距离公式

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（1） “”是“直线与直线平行”的（ C ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：当 时，两直线方程分别为，，满足两直线平行.
由直线 与直线 平行，得，解得 或.
当 时，两直线重合，故“”是“直线 与直线 平行”的充要条件.故选.
（2） 已知直线与直线互相垂直，则（ D ）
A. 0B. 1C. 2D. 0或2
解：①当 时，两直线的方程分别为 和，故两直线垂直.
②当 时，两直线的斜率分别为 和，由题意,得，解得.
综上,或.故选.
【点拨】 ①当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意，的系数不能同时为零这一隐含条件.②在判断两直线平行时，若两直线的斜率存在，则两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等.③判定两直线垂直的方法.一是判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直.二是直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论.设直线，，.
变式1
（1） 【多选题】直线,的斜率,是关于的方程的两个根，则下列说法正确的是（ AD ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
解：由题意，若，则，解得；若，则，所以，解得.故选.
（2） 设，，分别是中内角，，所对边的边长，则直线与的位置关系是（ C ）
A. 平行B. 重合C. 垂直D. 相交但不垂直
解：由正弦定理，得，所以两直线垂直.故选.
考点二 两条直线的相交、距离问题
例2
（1） 若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离的最小值为（ A ）
A. B. C. D.
解：联立 解得
因为三条直线，，相交于同一点，所以.
则点 到原点的距离的最小值为原点到直线 的距离.故选.
（2） 已知点，到直线的距离相等，则（ D ）
A. 或B. C. D. 或
解：由题意,得，化简得.解得 或.故选.
（3） 若两平行直线，之间的距离为，则的值是2或.
解：依题意，知，解得，，即直线 可化为.
又两平行线之间的距离为，所以，解得 或.故填2或.
【点拨】①点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.②两平行直线间的距离，可直接用公式求,也可利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
变式2
（1） 经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线方程为 .
解：联立 得交点为.又由题意，知所求直线斜率为,则其方程为,即为.故填.
（2） 已知直线，相交于点，则点到直线的距离为（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意，联立 得 故.则点 到直线 的距离为.故选.
（3） 已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为或.
解：由题意,得.设直线，且，直线 到直线 和 的距离分别为,.则,.
因为,所以.
即,解得 或.
所以直线 的方程为 或.故填或
考点三 对称问题
例3
（1） 点关于直线对称的点的坐标为 .
解：设点 关于直线 的对称点为，
则 解得 即 关于直线 对称的点的坐标为.
故填.
（2） 已知直线，点，则直线关于点对称的直线的方程为 .
解：（方法一）在 上任取两点，如，，则，关于点 的对称点，均在直线 上.
易知，，由两点式可得 的方程为.
（方法二）设 为 上任意一点，则 关于点 的对称点为.
因为 在直线 上，所以，即.故填.
【点拨】对称问题主要有中心对称（关于点）及轴对称（关于线）两大类.①点关于点对称.若点及关于点对称，则由中点坐标公式得线关于点对称.在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在.③点关于线对称.若两点与关于直线对称，则线段的中点在上，且连接的直线垂直于，由方程组可得到点关于对称的点的坐标（其中，.④线关于线对称.此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.
变式3
（1） 已知,，若的平分线所在的直线方程为，则所在直线的方程为（ C ）
A. B. C. D.
解：设点 关于直线 的对称点为，则 解得 即.
可得直线 的方程为.
由 解得 所以.
所以直线 的方程为，
即.
另解：求出点 关于直线 的对称点，所求即为 的方程.
故选.
（2） 直线关于直线对称的直线的方程为 .
解：联立 得直线 与直线 的交点,.
在直线 上取一点，设点 关于直线 的对称点为，则 解得 即.
又直线 过,和 两点，故由两点式得直线 的方程为，即.
故填.
考点四 直线系及其应用
例4 求证：动直线（其中）恒过定点，并求出定点坐标.
证明：（方法一）令，则直线方程为.
再令 时，直线方程为.
联立①②，得方程组 解得
将点 代入动直线 中，

，
故点 的坐标恒满足动直线方程，所以动直线 恒过定点.
（方法二）将动直线方程按 降幂排列,得
.
不论 为何实数，式恒为零，
所以 解得
故动直线恒过点.
【点拨】证明直线系过定点问题,常用方法有恒等式法和特殊直线法.恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式,利用参数为,则恒等式的系数为0,列出关于,的方程组,通过解方程组,求出定点坐标.特殊直线法就是取两个特殊参数值,得到两条特殊直线,通过求出这两条直线的交点坐标并代入原直线系方程检验,即得定点.
变式4 直线所过定点坐标为 ;是坐标原点,则到距离的最大值为 .
解：把直线 的方程化为.由方程组 解得 所以直线 恒过定点.当 时,到 的距离最大,为.故填；.