2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何专题突破15立体几何综合问题

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何专题突破15立体几何综合问题，共12页。试卷主要包含了平面图形的翻折问题，立体几何中的最值问题，开放探究问题等内容，欢迎下载使用。
考点一 平面图形的翻折问题
例1 如图1，菱形中， ，为的中点，将沿折起使得平面 平面,如图2，与相交于点，是棱上的一点且满足.
图1
图2
（1） 求证：平面.
解：证明：由题意，知，，
所以.
又，所以.
又 平面， 平面，所以 平面.
（2） 求二面角的余弦值.
[答案]
因为平面 平面，平面 平面，， 平面，
所以 平面，所以.
以 为坐标原点，，，为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设菱形的边长为4，则点，，.
则，.
设平面 的法向量为，
则 即
令，得,,.
易知平面 的一个法向量为.
设二面角 的大小为 ，则.故二面角 的余弦值为.
【点拨】平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线线关系、线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的相关关系不发生变化，不在同一个平面上的可能会发生变化.
变式1 如图1，在边长为4的正方形中，,分别是,的中点，点在上，且，将,分别沿,翻折，使点,重合于点，如图2所示.
（1） 试判断与平面的位置关系，并给出证明；
解： 平面.
证明如下：在图1中，连接，，，设 交 于点，交 于点，则.
图1
在图2中，连接 交 于点，连接.在 中，有，，所以.
又 平面， 平面，所以 平面.
（2） 求二面角的余弦值.
[答案]
图2中的 与 分别是图1中的 与，所以，.
图2
又，所以 平面，则.又，所以 平面.则 为二面角 的平面角.
可知，则在 中，，,则.
在 中，，.由余弦定理,得
.
所以二面角 的余弦值为.
考点二 立体几何中的最值（范围）问题
例2 在如图所示的多面体中，四边形为正方形，,,,四点共面，且和均为等腰直角三角形， ，平面 平面，.
（1） 求证：直线平面.
解：证明：因为 和 均为等腰直角三角形，且 ，
所以 ，所以.
又 平面, 平面，所以 平面.
（2） 若点在直线上，求直线与平面所成角的最大值.
[答案]
因为四边形 为正方形，所以.
又因为平面 平面, 平面，平面 平面，所以 平面.所以.则,,两两垂直.
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以,,,,,,,.
设平面 的法向量为.由 得 令,得.
因为点 在 上,所以设，则.
设 与平面 所成的角为 ，则
.
要使 最大，则，所以
,
当 时等号成立，所以.
所以 与平面 所成角的最大值为.
【点拨】选择适当的参数，将所求问题转化为函数问题处理.
变式2 [2021年全国甲卷]如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点,.
（1） 求证：.
解：因为三棱柱 是直三棱柱，所以 底面.所以.
因为，，所以.
又，所以 平面.
所以,,两两垂直.
以 为坐标原点，分别以,,所在直线为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图.
则,,,,,，,.
由题意,设.
证明：因为,，
所以.所以.
（2） 当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小?
[答案]
设平面 的法向量为.
因为,，
所以 即
令，则.
平面 的一个法向量为.
设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，则
.
当 时，取最小值为，此时 取最大值为.
所以，此时.
考点三 开放探究问题
例3 如图，在三棱锥中， ，，，点在平面内，，.
（1） 求证： 平面.
解：证明：连接，设 交 于点.因为 是等腰直角三角形,所以，.又，所以 是 和 的中点.又，所以四边形 是正方形.则.
又，,
所以 平面，.
同理,.
又,所以 平面.
（2） 是否存在点在棱上，使得二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
[答案]
存在.由（1）的证明过程知四边形 为正方形.如图建立坐标系，则，，，，.
设,.
由,可得,,,
则，,,.
易知平面 的法向量为.
设平面 的法向量为,
则 得
令 得，,0,.
，,
解得.所以存在符合要求的点，此时.
【点拨】①对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关判定、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，否则否定假设.②结构不良问题多以半开放情形出现,选择适当的条件让题目结构“良好”，进而求解即可.
变式3 [2022年北京卷]如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面 平面，，，分别为，的中点.
（1） 求证：平面.
解：证明：如图，取 的中点，连接，.
由三棱柱,可得四边形 为平行四边形，而，,则.
又 平面， 平面，故 平面.
又,，则.
同理,可得 平面.
又,, 平面，
故平面 平面.又 平面，故 平面.
（2） 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
[答案]
因为侧面 为正方形，所以.
而 平面，平面 平面，平面 平面，故 平面.
因为，所以 平面.
因为 平面，所以.
若选①，则，而，，
故 平面.
又 平面，故，所以.
又，，故 平面.
故可建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,.
故，,.
设平面 的法向量为，
则 从而
取，则.
设直线 与平面 所成的角为 ，则,.
若选②，因为 平面， 平面，所以.
而，,，故，所以 ，故.
又，，故 平面.
故可建立如图所示的空间直角坐标系，则，,,.
故,,.
设平面 的法向量为，
则 从而
取，则.
设直线 与平面 所成的角为 ，则,.