2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.3空间直线平面的平行

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.3空间直线平面的平行，共8页。试卷主要包含了平行关系的基本问题，平行关系的证明问题，平行关系的综合问题等内容，欢迎下载使用。

例1 如图，在正方体中，，，分别是棱,,的中点，给出下列推断：
平面;
平面;
平面;
④平面平面;
⑤平面平面.
其中所有正确推断的序号是（ A ）
A. ①③⑤B. ①④C. ②③⑤D. ②④
解：对于①，由正方体性质，可知平面 平面.又 平面，故 平面，①正确.
对于②，因为 与 延长线相交，所以 不平行于平面，②错误.
对于③，因为,分别为 和 的中点，所以.又因为 平面，所以 平面，③正确.
对于④，由②知 与 延长线相交，故平面 不平行于平面，④错误.
对于⑤，由③知 平面.同理,可证 平面.又，所以平面 平面，⑤正确.故选.
【点拨】平行关系的基本问题，应以定义、基本事实4和定理为依据，以正（长）方体、三棱柱（锥）等常见几何体为载体进行判断.
变式1
（1） 设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ B ）
A. 内有无数条直线与 平行B. 内有两条相交直线与 平行
C. ， 平行于同一条直线D. ， 垂直于同一平面
解：由面面平行的判定定理,知 内两条相交直线都与 平行是 的充分条件.由面面平行的性质定理，知若 ，则 内任意一条直线都与 平行.所以 内两条相交直线都与 平行是 的必要条件.故选.
（2） 【多选题】如图所示的四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的是（ AC ）
A. B.
C. D.
解：在 中，由于平面 与 所在的侧面平行，所以 平面.在 中，由于 与以 为中位线的三角形的底边平行，所以.又因为 平面， 平面,所以 平面.在,中，只需平移，即可发现 与平面 相交.故选.
考点二 平行关系的证明问题
例2
（1） 如图，在正方体中，，，分别是，和的中点．求证：
① 平面;
证明：连接，.
因为四边形 为正方形，为 的中点，
所以 为 中点.
又因为 为 的中点，所以.
因为 平面， 平面，
所以 平面.
② 平面平面.
[答案]
如图所示，连接，．
因为四边形 为正方形，为 的中点，所以 为 的中点.
又 为 的中点，所以.
因为 平面， 平面，所以 平面.
由①知 平面，且，， 平面.
所以平面 平面.
（2） 如图所示，为平行四边形所在平面外一点，,分别为，的中点，平面 平面．
① 判断与的位置关系，并证明你的结论；
解：结论：．
证明：因为， 平面， 平面，所以 平面．又因为 平面，平面 平面，所以．
② 判断与平面的位置关系，并证明你的结论．
[答案]
结论：平面．
证明：如图，取 的中点，连接，，则，.
因为 平面， 平面，所以 平面．
同理可得 平面．
又，， 平面，所以平面 平面．
又 平面，所以 平面．
【点拨】①证明线线平行，可以运用基本事实4、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明.②要证明直线和平面平行，通常有两种方法.一是利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可.二是利用面面平行的推论：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行.第一种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行.第二种方法常用于非特殊位置的情形.③判定面面平行主要是利用面面平行的判定定理及线面垂直的性质（垂直于同一直线的两平面平行）.利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行.
变式2
（1） 如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：
① ，，，四点共面；
证明：因为，分别是，的中点，所以.
又，所以，所以，，，四点共面．
② 平面平面.
[答案]
因为，分别为，的中点，所以.
因为 平面， 平面，所以 平面.
又，分别为，的中点，，所以.所以四边形 是平行四边形.所以．
因为 平面， 平面，
所以 平面.
又，， 平面，
所以平面 平面.
（2） [2023年全国乙卷节选]如图，在三棱锥中，，，，，,,的中点分别为,,，点在上，．求证：平面.
证明：由题意,得,,,,所以.由 为 的中点,得.
又,所以，则 为 的中点.
由,,,分别为,,,的中点，得.
又 平面, 平面，
所以 平面.
考点三 平行关系的综合问题
例3 如图,三棱柱的棱长都为2，和分别是和的中点．
（1） 求证：平面.
解：证明:（方法一）
在三棱柱 中，.如图1,取 的中点，连接，.
图1
因为 和 分别是 和 的中点，
所以,,所以.
又 平面， 平面，且 平面， 平面，
所以 平面，平面.
又，, 平面，
所以平面 平面.
因为 平面，所以 平面．
（方法二）连接 交 于点，连接 交 于点，连接，如图2.
图2
在三棱柱 中，，，
所以，.所以，则.
又 平面， 平面，所以 平面．
（2） 若 ，点到平面的距离为，求三棱锥的体积．
[答案]
因为 平面，所以.
又 ，所以平行四边形 的边 上的高.
由点 到平面 的距离，得．
【点拨】当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离相等.在某点到平面的距离易求的前提下实行平行转化,将较难求的点到平面的距离转化为较易求的另外一点到平面的距离是我们常用的方法，这需要首先完成线面平行或面面平行的证明.
变式3 如图，，，，分别是空间四边形的边，，，上的点，且四边形为平行四边形.
（1） 求证：.
解：证明：因为四边形 为平行四边形，所以.
因为 平面， 平面，所以 平面.
又 平面，平面 平面，所以.
（2） 若，，，为相应边上的中点，，且，，求四边形的面积．
[答案]
因为,,,为相应边上的中点，且，，所以，且，，且.
又，所以，所以四边形 为矩形.所以四边形 的面积．