2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.2空间点直线平面之间的位置关系

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.2空间点直线平面之间的位置关系，共8页。试卷主要包含了平面的基本性质，判断两条直线的位置关系，异面直线所成的角等内容，欢迎下载使用。
例1 【多选题】已知，，表示三个不同的点，表示直线， ， 表示平面，则下列判断正确的是（ AB ）
A. ， ，
B. , 不重合, , , ,
C. ,
D. ,, ,,, ， 重合
解：对于，因为 ， ，，由基本事实3,可知，正确.
对于， , 不重合, ， ， ， ，故直线 ， ，即，正确.
对于，若，则有 ，，但 ，错误.
对于，若,,则 ， 不重合，错误．
故选.
【点拨】结合平面的基本性质及其相关推论进行判断，必要时画出图形分析.
变式1 两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ C ）
A. 异面B. 相交
C. 可能共面，也可能异面D. 平行
解：两条直线都与一个平面平行，在空间中，这两条直线可能相交、平行或者异面.其中相交或者平行属于共面直线，所以这两条直线的位置关系是可能共面，也可能异面.故选．
例2 如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，连接，.求证：
（1） ，，，四点共面；
证明：如图所示，连接，，.
因为，分别是，的中点，所以，且.
因为，且，所以四边形 是平行四边形，所以.
因为，所以，所以 与 能确定一个平面，即，，，四点共面.
（2） ，，三线共点.
[答案]
由（1）知，且，
所以四边形 是梯形.
所以 与 必相交，设交点为，
则，且.
因为 平面， 平面，
所以 平面，且 平面.
又因为平面 平面，
所以，所以，，三线共点.
【点拨】共面、共线、共点问题的证明.①证明共面的方法：先确定一个平面，再证其余的线（或点）在这个平面内.②证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.③证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
变式2 如图，已知不共面的三条直线，，相交于点，，，，，求证：与是异面直线．
证明：（方法一）假设 和 共面，所确定的平面为 ，那么点，，，，都在平面 内，所以直线，，都在平面 内，与已知条件，，不共面矛盾.假设不成立，所以 与 是异面直线．
（方法二）因为，所以它们确定一个平面，设为 .由题意,知 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，，所以 与 是异面直线．
考点二 判断两条直线的位置关系
例3
（1） 如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面 平面，是线段的中点，则（ B ）
A. ,且直线，是相交直线
B. ，且直线，是相交直线
C. ，且直线，是异面直线
D. ，且直线，是异面直线
解：如图,连接，，并过点 作 于点，连接.则，，故.在 中，易知 是 的中点，所以，是相交直线.故选.
（2） 两条直线,分别和异面直线,都相交，则直线,的位置关系是（ D ）
A. 一定是异面直线B. 一定是相交直线
C. 可能是平行直线D. 可能是异面直线，也可能是相交直线
解：如图,设直线 与直线 分别与两条异面直线相交于点,,,（不妨设点 与点 不重合）.
由题意,可得当点 与点 重合时，两条直线相交;当点 与点 不重合时，两条直线异面.所以直线,的位置关系是异面或相交.故选．
【点拨】空间两条直线位置关系的判定方法：
变式3
（1） 已知平面平面 ，直线 ，直线 ，下面四种情形：；；与异面；与相交．其中可能出现的情形有3种.
解：因为平面 平面 ，直线 ，直线 ，所以分别在两个平面的任意两条直线可以共面，也可以异面，故③正确.
所以直线 与直线 无公共点，即 与 不相交，故④错误.
当直线 与直线 共面时，根据面面平行的性质，可得，故①正确.
当直线 与直线 异面时，与 所成角的大小可以是 ，故②正确.
综上，知①②③都有可能出现，共有3种情形．故填3.
（2） 如图，正方体中，,分别是,的中点，则与直线,,都相交的直线（ D ）
A. 有且仅有一条B. 有且仅有两条C. 有且仅有三条D. 无数条
解：如图,在 上任意取一点，直线 与点 确定一个平面，这个平面与 有且仅有1个交点.当点 取不同的位置就确定不同的平面，从而与 有不同的交点.而直线 与这3条异面直线都有交点，故在空间中与直线,,都相交的直线有无数条.故选.
考点三 异面直线所成的角
例4
（1） 已知在菱形中,，将沿折起，使点到达点处，且，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 （ B ）
A. B. C. D.
解：如图，取 的中点，连接，，.
因为 为线段 的中点，是线段 的中点，所以，，或其补角即异面直线 与 所成角.
因为四边形 是菱形，，所以.在 中，.故异面直线 与 所成角的余弦值为.故选.
（2） 正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ C ）
A. B. C. D.
解：如图，取 的中点，连接，.
在正三棱柱 中， 底面.而 底面，所以.
又，且,所以 平面.而 平面，则.
又， ，所以 为异面直线 与 所成的角.
不妨设，则，，，则，所以.故选.
【点拨】求异面直线所成角的一般步骤.①作：通过作平行线得到相交直线.②证：证明所作角为异面直线所成的角（或其补角）求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
变式4
（1） 在四面体中，，，是棱的中点，，则异面直线与所成的角为（ A ）
A. B. C. D.
解：如图,取 的中点为，连接，.又 是 的中点，则，所以（或其补角）为异面直线 与 所成的角．在 中，，，，所以 为等边三角形，故，即异面直线 与 所成的角为.故选.
（2） （教材题改编）如图是某正方体的平面展开图，是所在棱的中点，则在该正方体中，与所成角的余弦值为（ A ）
A. B. C. D.
解：将平面展开图还原，如图所示.
过点 作 交正方体的棱于点，易知 为所在棱的中点，则 或其补角为异面直线 与 所成的角.
连接，设正方体的棱长为2，易知，，.在 中，由余弦定理,得，即异面直线 与 所成角的余弦值为.故选.