2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.1基本立体图形简单几何体的表面积与体积

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第七章立体几何7.1基本立体图形简单几何体的表面积与体积，共8页。试卷主要包含了基本立体图形及直观图，空间多面体的面积、体积，空间旋转体的面积、体积等内容，欢迎下载使用。

例1
（1） 下列命题中正确的是（ A ）
A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B. 在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
C. 夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
D. 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
解： 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等 正确，由线面平行的性质定理,知两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，且垂直于底面 不正确，若两个平行截面与圆柱的底面平行,则是旋转体,若这两个平行截面与圆柱的底面不平行,则不是旋转体 不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但侧棱长不一定相等.故选 ．
（2） 如图，已知正四棱锥的侧棱长为，侧面等腰三角形的顶角为 ，则从点出发环绕侧面一周后回到点的最短路程为（ D ）
A. B. C. D. 6
解：把正四棱锥的侧面沿着 剪开，得到它的侧面展开图,如图所示.则最短路程为线段.
在 中， ，，则 .
所以.故选.
【点拨】①课程标准要求考生认识柱、锥、台、球的结构特征，并能描述现实生活中的简单物体结构.②解决空间几何体表面距离最短问题,需通过展开，把问题转化为平面两点间线段最短问题．多面体表面展开图可以有不同的形状，要观察并想象立体图形与表面展开图的关系．③直观图是立体图形在平面中的一种重要表现形式，解决直观图的相关问题，要牢牢掌握直观图与原图的关系,具体见【教材梳理】.注意巧用直观图与原图的面积比.
变式1
（1） 下列结论正确的是（ B ）
A. 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
B. 六条棱长均相等的四面体是正四面体
C. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D. 用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台
解：如图，各侧面均是等腰三角形，但该三棱锥非正三棱锥，错误.斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，错误.截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，错误.故选.
（2） 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ C ）
A. 面积为的矩形B. 面积为的矩形
C. 面积为的菱形D. 面积为的菱形
解： ,，所以.故在原图形中，，,
，所以四边形 为菱形（如图所示）.则原图形的面积为.故选.
考点二 空间多面体的面积、体积
命题角度1 空间多面体的面积
例2 《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边长为2，下底面边长为4，则此方亭的表面积为 ．
解：如图所示，,分别是正四棱台不相邻两个侧面的高，.则 即为正四棱台的高，且.
由,，得
.
所以此方亭的表面积为
.
故填.
【点拨】求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建立未知量与已知量间的关系进行求解.
变式2 如图1所示的正方体的棱长为1，沿对角面（图中阴影部分）将其分割成两块，重新拼接成如图2所示的斜四棱柱，则所得的斜四棱柱的表面积是 .
解：由拼接规律,得斜四棱柱的上下两个底面为矩形，长为1，宽为；左右为两个正方形，边长为1；前后为两个平行四边形，相邻两边长为1与，一个内角为 .从而斜四棱柱的表面积是.故填.
命题角度2 空间多面体的体积
例3 如图，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ A ）
A. B. C. D.
解：如图,过，两点分别作，垂直于，垂足分别为，，连接，.可证得，.则多面体 分为三部分，即多面体的体积.
依题意,知 为等腰梯形.
易知,所以.
又，所以.
作 于点，则 为 的中点，所以.
所以.
所以，
，.
所以.故选.
【点拨】求空间多面体体积的常用方法为公式法、割补法和等积变换法（等体积法）割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积.②等积变换法：对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积，利用“等积性”还可求点到面的距离.
变式3 [2023年新课标Ⅱ卷]底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为28．
解：（方法一）如图，由于，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6.所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为.所以棱台的体积为.
（方法二）棱台的体积为.故填28.
考点三 空间旋转体的面积、体积
命题角度1 空间旋转体的面积
例4 如图,四边形为梯形，， ，以为圆心，为半径画一个扇形，则图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的表面积为 .
解：依题意，形成的几何体是一个圆台从上面挖出一个半球.
.又，所以 ， .
故所求几何体的表面积 .
故填 .
【点拨】 求旋转体的表面积问题需注意其侧面展开图的应用.直角梯形绕直角腰旋转一周形成的是圆台，四分之一圆绕半径所在的直线旋转一周，形成的是半球，所以阴影部分绕旋转一周形成的是组合体，圆台挖去半球，.
变式4 如图，以菱形的一边所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，已知，．则该几何体的表面积为 .
解：作出所求的几何体，如图.
该几何体上部分为圆锥，下部分为在圆柱内挖去一个与上部分相同的圆锥.易知点 到 的距离为，即圆柱底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为.所以该几何体的表面积为 ．故填 .
命题角度2 空间旋转体的体积
例5 如图,在中， , ，,在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与,分别相切于点，，交于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为 ．
解：连接，则.
设，因为，所以.
在 中，，解得.
在 中，因为 ， ,,所以.
图中阴影部分绕直线 旋转一周所得几何体为一个圆锥内挖去一个球.设圆锥的体积为，球的体积为，则所求体积 .故填 .
【点拨】求旋转体体积的一般思路是理解旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.求旋转体的体积常用公式法、分割法等，注意相关公式要牢记.
变式5 已知，，，，将四边形绕轴旋转一周，则所得旋转体的体积是（ A ）
A. B. C. D.
解：如图,过点 作 轴的垂线交 轴于点.则 是直角三角形.四边形 是直角梯形，四边形 绕 轴旋转一周所得几何体是一个圆锥和一个圆台的组合体.易求得,,,,,，则所得旋转体的体积为 ．故选.