2025高考数学一轮考点突破训练第六章数列6.1数列的概念

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第六章数列6.1数列的概念，共9页。试卷主要包含了由前项归纳数列的通项公式，由与的关系求通项公式，由递推关系求通项公式，数列的单调性与最值，数列的周期性等内容，欢迎下载使用。
例1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式.
（1） ，7，，19， ；
解：偶数项为正，奇数项为负，故通项公式的正负性可用 调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6.故数列的一个通项公式为.
（2） ，，，，， ；
[答案]这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为，，，，， ，每一项都是两个相邻奇数的乘积.故数列的一个通项公式为.
（3） 5，55，555，， ；
[答案]将原数列改写为，，， ，易知数列9，99，999， 的通项为.故数列的一个通项公式为.
（4） 0,，2，，， .
[答案]原数列为,,,,,….故数列的一个通项公式为.
【点拨】 给出数列的前几项求通项时，主要从以下几个方面来考虑.①熟悉一些常见数列的通项公式，如,,,,,等.②分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系.③若第项和第项正负交错，则用符号或来适配.④对于较复杂数列的通项公式，可使用变形、添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.⑤注意通项公式的形式不一定是唯一的，如数列1，0，1，0， 的通项公式可写成或，甚至分段形式等.
变式1
（1） （教材题改编）根据下面的图形及相应的点数,可得点数构成的数列的一个通项公式 .
解：由,,, ，归纳得.故填 .
（2） （教材题改编）数列1,,,,,…的一个通项公式为 .
解：，，，，, ,则.故填.
考点二 由与的关系求通项公式
例2
（1） 已知数列的前项和，则该数列的通项公式为（ D ）
A. B.
C. D.
解：当 时，.
当 时，，不符合上式.
所以数列的通项公式为
故选 .
（2） 已知数列满足，则数列的通项公式为（ B ）
A. B.
C. D.
解：由题意，设，
当 时，.
，得，所以.
当 时，，不满足上式.
综上，故选 .
（3） 已知数列的首项，其前项和为.若，则 .
解：由，得，
两式相减，得.
又，，
所以数列 从第二项开始成等比数列.
所以故填
【点拨】 任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系若适合，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示.另外一种快速判断技巧是利用是否为0来判断：若，则适合，否则不符合，这在解小题时比较有用.
变式2
（1） 若数列的前项和，则数列的通项公式为 .
解：当 时，
当 时，.
又 不满足.
所以 故填
（2） 已知数列满足，则 .
解：因为，
所以当 时，，故.
当 时，.
，得.
满足上式.
所以.故填 .
（3） 已知数列的首项，前项和为，，，则的通项公式为 .
解：因为，所以.所以，即，且.所以，且当 时，符合.所以.故填.
考点三 由递推关系求通项公式（累加法与累乘法）
例3 写出下面各递推公式表示的数列的通项公式.
（1） ，；
解：当 时，.
所以当 时，.当 时，适合.故.
（2） ，.
[答案]
因为，所以当 时，，， ，.
将这 个等式叠乘，
得，所以.
当 时，适合.故.
【点拨】 已知数列的递推关系求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法（构造法见本章专题突破）求解.当出现时，一般用累加法求通项；当出现时，一般用累乘法求通项.
变式3
（1） 已知数列满足，，则 .
解：由题意，当 时，,
所以.
又，适合上式，
所以.故填.
（2） [2023年全国甲卷节选]已知数列中，，为的前项和，.求的通项公式.
解：因为，
当 时，，即.
当 时，，即.
当 时，，
所以，
化简得.
则当 时，，即
当,2,3时,都满足上式，所以.
考点四 数列的单调性与最值
例4 已知数列中，，，且.
（1） 若，求数列中的最大项和最小项的值；
解：因为，所以.
结合函数 的单调性，
可知，.
所以数列 中的最大项为，最小项为.
（2） 若对任意的，都有成立，求的取值范围.
[答案]
.
因为对任意的，都有 成立，所以结合函数 的单调性，知.所以.故 的取值范围为.
【点拨】 数列是特殊函数，研究其性质一般都离不开函数与方程思想的应用.解决数列单调性的方法主要有：作差比较、作商比较及结合相应函数直观判断，求最大项可通过列不等式组求.
变式4 已知数列的通项公式为.
（1） 数列的第几项最大，最大项为多少？
解：因为，所以当 或 时，最大.
又，故数列 的第2，3项最大，最大项为38.
（2） 若，求正整数的最小值.
[答案]
因为函数 的图象开口向下，且对称轴方程为，所以数列 从第3项起单调递减.
又，，，，所以若，则.
即正整数 的最小值是9.
考点五 数列的周期性
例5 已知数列的首项为2，且数列满足，数列的前项和为，则（ C ）
A. 504B. 294C. D.
解：因为，，所以，，.又，所以.所以数列 的一个周期为4，且.
因为，所以.故选.
【点拨】 几种常见周期数列：
变式5 【多选题】已知是的前项和，,，则下列结论正确的是（ ABD ）
A. B.
C. D. 是以3为周期的周期数列
解：因为，所以，，， ，.所以 是以3为周期的周期数列，故 正确.
，故 正确.
，故 正确.
，故 错误.故选.
递推形式
周期
（常数）
2
，或
3

4

6