2025高考数学一轮考点突破训练第五章平面向量与复数5.4复数

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第五章平面向量与复数5.4复数，共6页。试卷主要包含了复数的概念，复数的运算，复数的几何意义等内容，欢迎下载使用。
例1 【多选题】已知复数，则下列说法正确的是 （ BD ）
A. 复数在复平面内对应的点在第四象限
B. 复数的虚部为
C. 复数的共轭复数
D. 复数的模
解：.
复数 在复平面内对应的点在第三象限，故 错误.
复数 的虚部为，故 正确.
复数 的共轭复数，故 错误.
，故 正确.
故选.
【点拨】 复数问题标准化、实数化是解决复数问题最基本的思想方法.复数概念中应注意以下几点.①对于复数，如果，（或没有明确界定，），则不可想当然地判定，易误认为轴上的点与纯虚数一一对应（注意原点除外）对于为纯虚数的充要条件，只注意了而漏掉了.
变式1 【多选题】已知为复数，则下列命题正确的是（ ABD ）
A. 若，则为实数
B. 若，则为纯虚数
C. 若，则为纯虚数
D. “”是“”的必要不充分条件
解：设,，则.若，则,则 为实数，正确.，则 且，所以 且，则 为纯虚数，正确.由 得，则 为0或纯虚数，不正确.显然可推出，但反之不成立，如，正确.故选.
考点二 复数的运算
例2
（1） [2023年新课标Ⅰ卷]已知，则（ A ）
A. B. C. 0D. 1
解：因为，所以，即.故选.
（2） 若复数与其共轭复数 满足，，则2.
解：设，则，又，，
所以 因此故填2.
（3） 计算 .
解：因为，，所以原式.故填.
【点拨】①复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助,详见本节【常用结论】.②计算除法的关键是“分母实数化”.③灵活应用待定系数法解题.
变式2
（1） [2023年全国乙卷]设，则（ B ）
A. B. C. D.
解：，则.故选.
（2） 已知复数满足，则1或.
解：设，代入，得
，
所以.
所以 解得 或
所以 或.故填1或.
（3） 已知，是方程的两个复根，则（ B ）
A. 2B. 4C. D.
解：方程 的复根为.
不妨设，，则.
故选.
考点三 复数的几何意义
例3
（1） 在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数的取值范围为 .
解：因为，且 所对应的点在第二象限，所以
解得.故填.
（2） [2020年全国Ⅱ卷]设复数，满足，，则 .
解：（方法一）如图所示，设复数，所对应的点为，，
.由已知，得，则平行四边形 为菱形，且，都是正三角形.所以 ，.所以.
（方法二）设，，则.所以 又，所以，所以，所以.所以.故填.
【点拨】 ①复数的两种几何意义：一是复数与复平面内的点一一对应;二是复数与平面向量一一对应，其中,由几何意义可知可表示复数对应的点与原点的距离.可表示两点的距离，即表示复数与对应的点之间的距离.
变式3
（1） [2023年新课标Ⅱ卷]在复平面内，对应的点位于（ A ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
解：.
在复平面内，其对应的点的坐标为，位于第一象限.故选.
（2） 若复数满足，则在复平面内，所对应的点组成图形的面积为（ C ）
A. B. C. D.
解：由题意,得复数 对应的点的轨迹是如图所示的圆环.小圆的半径，大圆的半径，所以圆环的面积 .故选.
（3） 若复数满足，则的最大值为 （ C ）
A. 4B. 5C. 6D.
解：因为复数 满足，所以复数 对应的点 在圆 上，且圆心为，半径为1.
的几何意义是点 到点 的距离，其最大值为.
故选.