2025高考数学一轮考点突破训练第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积及平面向量的应用

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第五章平面向量与复数5.3平面向量的数量积及平面向量的应用，共9页。试卷主要包含了平面向量数量积的运算，平面向量数量积的应用，平面向量的应用等内容，欢迎下载使用。
例1
（1） [2022年全国甲卷]设向量，的夹角的余弦值为，且，，则11.
解：由题意,可得，，则.故填11.
（2） 四边形中，，，， ，则（ D ）
A. 2B. 1C. 4D. 3
解：如图，,，
故，所以.故选.
【点拨】 平面向量数量积主要有三种运算方法.①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即，.当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 ，，则.③利用数量积的几何意义求解.
变式1
（1） 已知向量,满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ B ）
A. B. C. D.
解：由，得.
，则.
则向量 在向量 上的投影向量为故选.
（2） [2023年全国乙卷]正方形的边长是2，是的中点，则（ B ）
A. B. 3C. D. 5
解：（方法一）如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，则,,，可得,.所以.
（方法二）以 为基底，可知,，则,.所以.故选.
考点二 平面向量数量积的应用
命题角度1 求平面向量的模
例2 [2020年全国Ⅰ卷]设,为单位向量，且，则 .
解：因为,为单位向量，即,所以.解得.所以.故填.
【点拨】 求向量模的常用方法是利用公式,即,将模的运算转化为向量的数量积.
变式2 [2023年新课标Ⅱ卷]已知向量，满足，，则 .
解：因为，所以.
即，整理得.
又因为，所以.
即，所以.故填.
命题角度2 求平面向量的夹角
例3 [2023年全国甲卷]已知向量，，则，（ B ）
A. B. C. D.
解：由题意，得，.则，，.故，.故选.
【点拨】 求两向量,的夹角 ,通常采用公式进行求解.
变式3 [2022年新课标Ⅱ卷]已知向量,,，若,,，则（ C ）
A. B. C. 5D. 6
解：,,,,即,解得.故选.
命题角度3 两个向量的垂直
例4
（1） [2022年全国甲卷]已知向量,.若，则 .
解：由题意，知，解得.故填.
（2） 设非零向量，满足，则 （ A ）
A. B. C. D.
解：因为，所以.整理得，所以.故选.
【点拨】 两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即对于两个非零向量，，.
变式4
（1） [2023年新课标Ⅰ卷]已知向量,，若，则（ D ）
A. B. C. D.
解：，.由，可得，即，整理得.故选.
（2） [2020年全国Ⅱ卷]已知单位向量，的夹角为 ，则在下列向量中，与垂直的是（ D ）
A. B. C. D.
解：由已知,可得.对于，因为，不符合题意.对于,因为，不符合题意.对于,因为，不符合题意.对于,因为，符合题意故选.
考点三 平面向量的应用
命题角度1 在几何中的应用
例5 【多选题】已知为所在平面内一点，则下列命题正确的是（ ABD ）
A. 若,则点在的中位线上
B. 若,则点为的重心
C. 若，则为锐角三角形
D. 若,则与的面积比为
解：对于，设 的中点为,的中点为.因为,所以.所以,即,所以,,三点共线.又 为 的中位线，所以点 在 的中位线上，正确.
对于，设 的中点为,由,得.又.所以,即点 在中线 上，且.所以 为 的重心，正确.
对于，因为,所以 与 的夹角为锐角，即 为锐角.但此时，有可能是直角或钝角，故无法判断 为锐角三角形，错误.
对于，因为,所以 为线段 上靠近 的三等分点，即.所以,正确.
故选.
【点拨】向量与平面几何的综合问题，往往要数形结合，借助平面几何的知识解题.
变式5 若为空间中一定点，动点在，，三点确定的平面内且满足，则点的轨迹一定过的（ D ）
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
解：由已知,得，所以，所以点 的轨迹一定过 的垂心.故选.
命题角度2 在物理中的应用
例6 长江流域内某段河流南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头处出发.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 .
解：由题意,知.
则.
因为，，
所以，所以.
故填.
【点拨】 平面向量在物理中的应用的解题步骤：①把实际问题中的相关量用向量表示出来；②转化为向量问题的模型，通过向量的运算使问题得以解决；③把结果还原为实际问题.
变式6 已知一个物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且与的夹角为 ，则力所做的功（ A ）
A. B. C. D.
解：故选.
课外阅读·以形助数在平面向量中的应用
在平面向量涉及最值范围问题的考查中，常利用数形结合思想中的“以形助数”求解，主要是利用线性运算与数量积运算的几何意义等解题.
1. [2020年新课标Ⅰ卷]已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
解：如图，过点 作 于点，则.
故选.
2. 已知，是单位向量，，若向量满足，则的最大值是 .
解：由题意，不妨设，，，则.所以，即.所以向量 的模 表示圆 上的动点与原点的距离，最大值为.故填.