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2025高考数学一轮考点突破训练第四章三角函数与解三角形专题突破9正余弦定理的综合应用
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这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第四章三角函数与解三角形专题突破9正余弦定理的综合应用，共10页。试卷主要包含了最值与范围问题，多三角形背景问题，三角形中线、高线及角平分线问题等内容，欢迎下载使用。
考点一 最值与范围问题
例1 【多选题】设的内角,,的对边分别为,,，若,，则下列选项正确的是（ ABC ）
A. 外接圆的半径为B. 面积的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为8
解：对于，由正弦定理，得，可得 外接圆的半径为，所以 正确.
对于，由余弦定理，得，即，当且仅当 时，等号成立，即.所以 面积的最大值为，所以 正确.
对于，由，可得，可得，则.
又由正弦定理，可得 其中，，且，当 时，取得最大值，所以 正确.
对于，由余弦定理，得，得，当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为8，所以 错误．
故选．
【点拨】解三角形相关最值范围问题，常见的解题思路有：①化为某一角的三角函数，由三角函数性质确定范围；②化为边的关系,由基本不等式确定范围；③化为关于某变量的函数，通过求函数值域确定范围.
变式1
（1） 在中，内角,,所对的边分别为,,，已知，.则的值为3；若，则周长的最大值为9.
解：，即.因为，，所以，所以.又，所以.
若，由余弦定理可得，则，即，则，解得，即 的最大值为6，当且仅当 时,等号成立.故 周长的最大值为9.故填3；9.
（2） 在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则的取值范围为（0,）．
解：根据正弦定理，
可得，.
所以
.
又因为 为锐角三角形，
所以,，故.
所以，.
所以 的取值范围为（0,）．故填（0,）．
考点二 多三角形背景问题
例2 如图,在平面四边形中,,,．
（1） 求的值;
解：由余弦定理,可得
.
（2） 若,,求的长．
[答案]
因为 为凸四边形内角,
所以 且,
则，
.
则
.
由正弦定理，
可得．
【点拨】若已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，则需作出这些三角形，先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形，然后逐步求解其他三角形.有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），通过解方程（组）得出所要求的量．
变式2 如图，在平面四边形中，已知，，.在边上取点，使得，连接，.若，.
（1） 求的值；
解：在 中，由正弦定理，
知.
所以.
（2） 求的长．
[答案]
因为，所以.
所以
.
因为，所以 为直角三角形.
又，所以.
在 中，.
所以.
考点三 三角形中线、高线及角平分线问题
例3 【多选题】在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（ BC ）
A.
B. 若是中线，则
C. 若是角平分线，则
D. 若，则是线段的三等分点
解：对于，在 中，由余弦定理，得.
因为，所以，故 错误.
对于,若 是中线，则，即，所以，故 正确.
对于,若 是角平分线，则，即，解得，故 正确.
对于,若 为线段 的三等分点，则 或，即 或.则，或.
所以 或，故 错误．
故选.
【点拨】①三角形中的角平分线、中线问题的处理策略：
②三角形中的等分点问题主要借助向量解决，高线问题主要借助面积解决.
变式3
（1） [2023年全国甲卷]在中， ，，，为上一点，为的平分线，则2．
解：如图，依题意，
由正弦定理，可得,所以.
又 ，所以 ，所以 .
又 为 的平分线，且 ，所以 .
又 ，所以 ，所以．故填2．
（2） 在中，内角,,的对边分别为,,，且，.
① 证明：.
解：证明：因为,所以
由正弦定理 及余弦定理，得
.
又，所以.
所以，所以.
② 若的面积为，求边上的高.
[答案]
由①，得 或由余弦定理，得.
因为 ,所以.
所以 的面积，所以.
设 边上的高为，
则 的面积.
所以，即 边上的高为.
规范答题——三角函数与解三角形解答题
【范例】 [2023年新课标Ⅱ卷第17题]（10分）
记的内角,,的对边分别为,,，已知的面积为，为的中点，且．
（1） 若，求；
解：在 中，因为 为 的中点，，，
所以，解得.（2分）（由面积关系求.）
在 中，，由余弦定理，得，解得.（3分）（求.）
则.（4分）（利用余弦定理求.）
，
所以.（5分）（利用同角三角函数基本关系式求正切.）
（2） 若，求,．
[答案]
在 与 中，由余弦定理，得
整理，得，而，则.（7分）（多三角形联立求.）
由，解得
.而 ，于是.（9分）（利用面积求角.）
所以.（10分）（计算,.）
【拆解】
【一题多解】
（1）在中，由余弦定理,得，解得.由，得，.
如图，过点作于点，于是,，则，
所以.
（2）在中，因为为的中点，所以，又，
于是，即，解得.
又，解得，
而 ，于是，所以.
【总结提升】本题选自2023年新课标Ⅱ卷第17题，难度不大，但具有一定的开放性（思维开放）,总体上仍属于解三角形中的多三角形问题，考查中线的应用.解第（1）问这类问题的基本思路是正弦定理、余弦定理、面积公式的应用求值，需要利用三角函数相关公式化简；解第（2）问这类问题的思路，仍是多三角形联立使用正弦定理、余弦定理，也可以用向量法，这对图形的准确把握有一定的要求.分类
参考赋分
难易
审题要点
考查内容
第一问
5分
中
（1）利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答，需要利用同角三角函数基本关系式求正切值.
（2）需要多三角形联立，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
在基础性的层次上，考查推理论证、运算求解等关键能力，以及同角三角函数基本关系式等基础知识.
第二问
5分
中偏上
在应用性的层次上考查推理论证、运算求解等关键能力，以及平面图形中的三角形的应用等必备知识，对数学思维有一定的要求.
考点一 最值与范围问题
例1 【多选题】设的内角,,的对边分别为,,，若,，则下列选项正确的是（ ABC ）
A. 外接圆的半径为B. 面积的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为8
解：对于，由正弦定理，得，可得 外接圆的半径为，所以 正确.
对于，由余弦定理，得，即，当且仅当 时，等号成立，即.所以 面积的最大值为，所以 正确.
对于，由，可得，可得，则.
又由正弦定理，可得 其中，，且，当 时，取得最大值，所以 正确.
对于，由余弦定理，得，得，当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为8，所以 错误．
故选．
【点拨】解三角形相关最值范围问题，常见的解题思路有：①化为某一角的三角函数，由三角函数性质确定范围；②化为边的关系,由基本不等式确定范围；③化为关于某变量的函数，通过求函数值域确定范围.
变式1
（1） 在中，内角,,所对的边分别为,,，已知，.则的值为3；若，则周长的最大值为9.
解：，即.因为，，所以，所以.又，所以.
若，由余弦定理可得，则，即，则，解得，即 的最大值为6，当且仅当 时,等号成立.故 周长的最大值为9.故填3；9.
（2） 在锐角三角形中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则的取值范围为（0,）．
解：根据正弦定理，
可得，.
所以
.
又因为 为锐角三角形，
所以,，故.
所以，.
所以 的取值范围为（0,）．故填（0,）．
考点二 多三角形背景问题
例2 如图,在平面四边形中,,,．
（1） 求的值;
解：由余弦定理,可得
.
（2） 若,,求的长．
[答案]
因为 为凸四边形内角,
所以 且,
则，
.
则
.
由正弦定理，
可得．
【点拨】若已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，则需作出这些三角形，先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形，然后逐步求解其他三角形.有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），通过解方程（组）得出所要求的量．
变式2 如图，在平面四边形中，已知，，.在边上取点，使得，连接，.若，.
（1） 求的值；
解：在 中，由正弦定理，
知.
所以.
（2） 求的长．
[答案]
因为，所以.
所以
.
因为，所以 为直角三角形.
又，所以.
在 中，.
所以.
考点三 三角形中线、高线及角平分线问题
例3 【多选题】在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（ BC ）
A.
B. 若是中线，则
C. 若是角平分线，则
D. 若，则是线段的三等分点
解：对于，在 中，由余弦定理，得.
因为，所以，故 错误.
对于,若 是中线，则，即，所以，故 正确.
对于,若 是角平分线，则，即，解得，故 正确.
对于,若 为线段 的三等分点，则 或，即 或.则，或.
所以 或，故 错误．
故选.
【点拨】①三角形中的角平分线、中线问题的处理策略：
②三角形中的等分点问题主要借助向量解决，高线问题主要借助面积解决.
变式3
（1） [2023年全国甲卷]在中， ，，，为上一点，为的平分线，则2．
解：如图，依题意，
由正弦定理，可得,所以.
又 ，所以 ，所以 .
又 为 的平分线，且 ，所以 .
又 ，所以 ，所以．故填2．
（2） 在中，内角,,的对边分别为,,，且，.
① 证明：.
解：证明：因为,所以
由正弦定理 及余弦定理，得
.
又，所以.
所以，所以.
② 若的面积为，求边上的高.
[答案]
由①，得 或由余弦定理，得.
因为 ,所以.
所以 的面积，所以.
设 边上的高为，
则 的面积.
所以，即 边上的高为.
规范答题——三角函数与解三角形解答题
【范例】 [2023年新课标Ⅱ卷第17题]（10分）
记的内角,,的对边分别为,,，已知的面积为，为的中点，且．
（1） 若，求；
解：在 中，因为 为 的中点，，，
所以，解得.（2分）（由面积关系求.）
在 中，，由余弦定理，得，解得.（3分）（求.）
则.（4分）（利用余弦定理求.）
，
所以.（5分）（利用同角三角函数基本关系式求正切.）
（2） 若，求,．
[答案]
在 与 中，由余弦定理，得
整理，得，而，则.（7分）（多三角形联立求.）
由，解得
.而 ，于是.（9分）（利用面积求角.）
所以.（10分）（计算,.）
【拆解】
【一题多解】
（1）在中，由余弦定理,得，解得.由，得，.
如图，过点作于点，于是,，则，
所以.
（2）在中，因为为的中点，所以，又，
于是，即，解得.
又，解得，
而 ，于是，所以.
【总结提升】本题选自2023年新课标Ⅱ卷第17题，难度不大，但具有一定的开放性（思维开放）,总体上仍属于解三角形中的多三角形问题，考查中线的应用.解第（1）问这类问题的基本思路是正弦定理、余弦定理、面积公式的应用求值，需要利用三角函数相关公式化简；解第（2）问这类问题的思路，仍是多三角形联立使用正弦定理、余弦定理，也可以用向量法，这对图形的准确把握有一定的要求.分类
参考赋分
难易
审题要点
考查内容
第一问
5分
中
（1）利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答，需要利用同角三角函数基本关系式求正切值.
（2）需要多三角形联立，利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
在基础性的层次上，考查推理论证、运算求解等关键能力，以及同角三角函数基本关系式等基础知识.
第二问
5分
中偏上
在应用性的层次上考查推理论证、运算求解等关键能力，以及平面图形中的三角形的应用等必备知识，对数学思维有一定的要求.
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