2025高考数学一轮考点突破训练第四章三角函数与解三角形4.5函数y=Asinωx+φ及三角函数的应用

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第四章三角函数与解三角形4.5函数y=Asinωx+φ及三角函数的应用，共11页。试卷主要包含了由图象确定的解析式，函数图象与性质的综合应用等内容，欢迎下载使用。

例1
（1） 【多选题】已知曲线，，则下列说法正确的是（ ABC ）
A. 把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B. 把上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C. 把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线
D. 把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线
解：对于，上各点的横坐标缩短到原来的，得到 的图象，再向左平移 个单位长度，得到曲线，故 正确.
对于，上各点的横坐标缩短到原来的，得到 的图象，再向右平移 个单位长度，得到曲线，故 正确.
对于，向左平移 个单位长度，得到 的图象，再把各点的横坐标缩短到原来的，得到曲线，故 正确.
对于，向左平移 个单位长度，得到 的图象，再把各点的横坐标缩短到原来的，得到曲线，故 错误.
故选.
（2） 已知函数的最小正周期为 .求 的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数在区间上的图象.
解：函数可化为.
因为 ，所以 ，即.
所以.列表如下.
画出图象如图所示.
【点拨】注意平移变换时，当自变量的系数不为1时，要将系数提出.对称变换要注意翻折的方向.三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.
变式1
（1） 为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换为（ C ）
A. 先将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B. 先将图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
C. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
D. 先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
解：由 得，不正确.由 得，不正确.由 得，正确.由 得，不正确.故选.
（2） 【多选题】要得到的图象，需对函数的图象所作的变换为（ BD ）
A. 先向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
B. 先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标扩大到原来的2倍
C. 先把横坐标缩短到原来的，再把所得各点向右平移个单位长度
D. 先把横坐标扩大到原来的2倍，再把所得各点向左平移个单位长度
解：图象上所有点先向左平移 个单位长度，得到 的图象，再把所得各点横坐标扩大到原来的2倍，得到 的图象，正确.
的图象上所有点横坐标扩大到原来的2倍，得到 的图象，再把所得各点向左平移 个单位长度，得到 的图象，正确.
故选.
考点二 由图象确定的解析式
例2
（1） [2020年新课标Ⅰ卷]【多选题】函数的部分图象如图所示，则（ BC ）
A. B. C. D.
解：设最小正周期为.由函数图象，知，即 .当 时，，所以 错误.当 时，，所以,,解得,,即函数的解析式为，所以，正确.而，所以 错误.也可由当x= 排除，由 排除.故选.
（2） [2020年全国Ⅰ卷]设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为（ C ）
A. B. C. D.
解：由题图可得函数图象过点,,代入函数，可得,
又,是函数 图象与 轴负半轴靠近 轴的第一个交点，所以,解得.所以函数 的最小正周期为.故选.
【点拨】已知的部分图象求其解析式，常用如下两种方法.①升降零点法.由，即可求出 .求 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出 .②代入最值法.将最值点（最高点、最低点）坐标代入解析式，再结合图形解出 和 .
变式2
（1） [2021年全国甲卷]已知函数的部分图象如图所示，则 .
解：不妨设,由图可知，即 ，所以.由题图,可得 ，，即 ，.令，则，所以.所以.故填.
（2） 函数,的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则 .
解：由，得，则 或 ，.
又，所以．因为 的图象过点,，所以.
又 在 的单调递增区间内，所以 ，，所以，.
因为，所以，所以．
将 的图象向右平移 个单位长度后，得 的图象.所以.故填.
考点三 函数图象与性质的综合应用
命题角度1 函数的零点问题
例3 设常数使方程在区间,上恰有五个解，则（ C ）
A. B. C. D.
解：.
作出函数 在,上的图象如图所示.
由图象，可知 在区间,上恰有五个解，只有 时才能成立.
由，,，解得，， ，， .
所以.故选.
【点拨】研究的性质时，一般将 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题）等常通过函数与方程思想化为图象交点问题，再借助图象分析.
变式3 已知函数．若函数在区间上有且只有两个零点，则实数的取值范围为，．
解：因为，所以,．依题意，得 ，解得．所以 的取值范围为，．故填，.
命题角度2 三角函数模型
例4 【多选题】如图1是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图2所示，（单位：）表示在时间（单位：）时,过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面,最低点距离地平面,入口处距离地平面.当时，过山车到达最高点，当时，过山车到达最低点.设,,，下列结论正确的是（ ACD ）
图1
图2
A. 函数的最小正周期为12
B.
C. 时，过山车距离地平面
D. 一个周期内过山车距离地平面低于的时间是
解：由题意，知周期 满足，解得，正确.
由，得.又 解得 所以.由，即，得.因为，所以.所以,错误.
，正确.
由，得，即， ，，解得，.
所以一个周期内过山车距离地平面低于 的时间是，正确.故选.
【点拨】三角函数能模拟现实生活中的许多周期现象.解决这类问题时，首先寻找与角有关的信息，确定三角函数模型；其次搜集数据，求出三角函数解析式，再利用三角函数的性质解决有关问题.
变式4 在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区时的气温（单位：）与时间（单位：时）近似满足函数关系式，则在时，观花的最佳时段约为（ C ）
A. 时B. 时C. 时D. 时
解：当 时，，则 在 上单调递增.设花开、花谢的时间分别为,.
由，得,则，解得.
由，得,则，解得.
故在 时，观花的最佳时段约为 时.
故选.
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