2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用专题突破6函数中的构造问题

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第三章一元函数的导数及其应用专题突破6函数中的构造问题，共5页。试卷主要包含了构造函数比较大小，构造抽象函数解不等式，同构法构造函数等内容，欢迎下载使用。

核心考点 精准突破
考点一 构造函数比较大小
例1 设，，，则（ D ）
A. B. C. D.
解：令，，则，函数 在,上单调递增.有，即有.所以.
显然.
所以.
故选.
【点拨】利用导数比较大小,有时需要利用题目条件构造辅助函数,把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小的问题.
变式1 已知，，，则（ A ）
A. B. C. D.
解：，则.
构造函数.
当 时，.
所以 在 上单调递增，所以，即.
综上，.故选.
考点二 构造抽象函数解不等式
例2
（1） 已知定义在上的函数满足，且恒成立，则不等式的解集为（ A ）
A. B.
C. D.
解：设，则.
因为 恒成立，
所以对任意，都有.所以 为增函数.
又，所以 的解集为.所以不等式 的解集为.
故选 .
（2） 定义在上的函数的导函数记为，若为奇函数且，当时，，则不等式的解集是（ D ）
A. B.
C. D.
解：设,，则
当 时，成立，所以，在 上单调递减.
又因为 为奇函数，所以 则，所以 为偶函数.所以 在 上单调递增.
因为，所以，，.
当 时，由，可得，所以.
当 时，由，可得，所以，此时.
综上所述，不等式 的解集是.故选.
【点拨】构造函数解抽象不等式有以下几种常见类型.①对于不等式,构造函数.②对于不等式,构造函数;对于不等式,构造函数.③对于不等式,构造函数;对于不等式,构造函数.④对于不等式,构造函数;对于不等式,构造函数.
变式2
（1） 已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为 .
解：令，所以，所以 在 上为减函数，.由，得.故填 .
（2） 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 （ A ）
A. B.
C. D.
解：令.因为 为奇函数，所以 为偶函数.由于，当 时，，所以 在 上单调递减.根据对称性，在 上单调递增.又，，分析正负性，知使得 成立的 的取值范围是.故选.
考点三 同构法构造函数
例3 已知，为正数，，则（ B ）
A. B. C. D.
解：由题意，得．令，由指数、对数函数的单调性，可知 在 上单调递增，所以由，得．故选.
【点拨】同构式一般指结构相同、变量不同的式子.要善于观察式子结构，通过移项、变形等变成结构一致，然后构造函数求解.
变式3 【多选题】若，则下列不等式成立的是（ AD ）
A. B.
C. D.
解：构造函数，则，所以在上单调递减.
因为，所以，即，故 正确，错误.
构造函数，则，易知 在 上单调递增.
而，当，且 时， ，所以存在，使.
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故无法判断 的正确性.
构造函数，易知 在 上单调递增.因为，所以，即，故 正确．故选.