2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数专题突破3函数的对称性及其应用

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数专题突破3函数的对称性及其应用，共7页。试卷主要包含了一个函数的自对称，两个函数的互对称，双重对称等内容，欢迎下载使用。
（1）轴对称:函数是偶函数或 函数的图象关于直线对称.特别地，当时，，则函数的图象关于轴对称，函数为偶函数.推广：若函数满足，则函数的图象关于直线对称.
（2）中心对称:函数是奇函数或 函数的图象关于点对称.特别地，当时，，则函数的图象关于原点对称，函数为奇函数.
2.两个函数的互对称
（1）函数与的图象关于轴对称.
（2）函数与的图象关于轴对称.
（3）函数与的图象关于原点成中心对称.
3.双重对称
（1）若函数的图象在定义域内有两条对称轴,，则函数是周期函数，且周期（不一定是最小正周期，下同）.
（2）若函数的图象在定义域内有两个对称中心，，则函数是周期函数，且周期.
（3）若函数的图象在定义域内有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且周期.
核心考点 精准突破
考点一 轴对称问题
例1
（1） 【多选题】已知函数的定义域为，下列说法正确的是（ AB ）
A. 若是偶函数，则的图象关于对称
B. 若的图象关于对称，则
C. 若的图象关于对称，则是偶函数
D. 若，则的图象关于对称
解：对于，由函数 是偶函数，得，即.因此 的图象关于 对称，正确.
对于，由函数 的图象关于 对称，得，即，正确.
对于，若 的图象关于 对称，则，则 是偶函数，推不出 是偶函数，故 错误.
对于，由，不能推出，所以 的图象不一定关于直线 对称，故 错误.故选 .
（2） 若函数满足，则120.
解：由题意，知 的图象关于直线 对称，所以，，即 解得 所以.故填120.
【点拨】 函数的图象关于直线对称.若函数满足，则的图象关于直线成轴对称．
变式1
（1） 【多选题】已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（ BD ）
A. B.
C. D.
解：若 的图象的对称轴方程为，则.
对于，，错误.
对于，，正确.
对于，因为，，所以，即 不恒成立，错误.
对于，，正确.故选 .
（2） 已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ D ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
解：因为函数 为偶函数，所以.所以函数 的图象关于直线 对称.又因为函数 的定义域为，在区间 上单调递减，所以函数 在区间 上单调递增.所以由，得，解得，.故选.
考点二 中心对称问题
例2
（1） 【多选题】已知函数的定义域为，下列说法正确的是（ AB ）
A. 若是奇函数，则的图象关于点对称
B. 若的图象关于点对称，则
C. 若的图象关于点对称，则是奇函数
D. 若，则的图象关于点对称
解：对于，由函数 是奇函数，得，即.因此 的图象关于点 对称，故 正确.
对于，由函数 的图象关于点 对称，得，即，故 正确.
对于，若 的图象关于点 对称，则，则 是奇函数，推不出 是奇函数，故 错误.
对于，若，不能推出，所以 的图象不一定关于点 对称，故 错误.故选 .
（2） 已知函数是奇函数，若函数与图象的交点分别为，， ，，则6．
解：因为函数 是奇函数，图象关于原点对称，所以函数 的图象关于点 对称.
又函数 的图象也关于点 对称，
所以函数 与 图象的交点关于点 对称.
两个函数有3对对称的交点，所以
故填6.
【点拨】 函数的图象关于点对称.若函数满足，则的图象关于点，成中心对称．
变式2
（1） 若函数满足，则下列函数为奇函数的是（ D ）
A. B. C. D.
解：由题意，知 的图象关于点 对称.将 的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数 的图象.图象的对称中心为，故 为奇函数.故选 .
（2） 已知是上的奇函数，当时，，则 ．
解：因为 是 上的奇函数，所以 的图象关于点 成中心对称.所以，即．故填.
考点三 双重对称问题
例3 【多选题】已知定义在上的奇函数，满足，若，则（ BCD ）
A. B. 4是的一个周期
C. D. 的图象关于对称
解：由 知，的图象关于 对称，正确.又 为奇函数，所以，则，4是 的一个周期，正确.，错误.，正确.故选.
【点拨】 双重对称问题，隐含周期，注意借助对称性与周期性的相关结论解题,辅以草图则更为直观.
变式3 【多选题】已知定义域为的函数在上单调递增，，且图象关于点对称，则（ AB ）
A. B. 在上单调递减
C. 2是的一个周期D.
解：由，知 为 图象的对称轴，所以，故 正确.
因为 的图象关于 对称，且 在 上单调递增，所以 在 上单调递减.又 的图象关于 中心对称，所以 在 上单调递减.故 正确.
由，知.又图象关于 对称，所以.所以，即，所以.所以4为 的一个周期.
由选项 可得，且 在 上单调递减，其图象关于 对称，从而 的周期大于2，所以 的最小正周期为4，故 错误.
由 的最小正周期为4，得，，.因为，所以无法判断 与0的大小，从而 错误.故选.
考点四 两个函数图象的对称问题
例4 已知函数与的图象关于点对称，则 ．
解：设 是 图象上一点，其关于点 的对称点为，则 代入 中，得，即.
故填.
【点拨】 ①函数与的图象关于点，中心对称.②函数与的图象关于轴对称.注意和自对称区别，不是.
变式4 下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ B ）
A. B. C. D.
解：设，若 与 的图象关于直线 对称，则.故选.