2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.3幂函数与指对数运算

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.3幂函数与指对数运算，共7页。试卷主要包含了幂函数的图象与性质，指数幂的运算，对数的运算，实际运用等内容，欢迎下载使用。

例1
（1） 已知幂函数的图象过点，则1.
解：设.由，解得.所以，所以.故填1.
（2） 图中，，为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数,,的值依次可以是（ D ）
A. ，3，B. ，3，C. ，，3D. ，，3
解：由题意，根据幂函数的图象与性质，可知，只有 满足条件.故选 .
（3） 不等式的解集为（ B ）
A. ,B.
C. D.
解：是偶函数，且在 上单调递增，故,所以,解得.故选.
【点拨】 的正负与幂函数图象的关系：当时，图象过原点和，在第一象限的图象上升；当 时，图象不过原点，过，在第一象限的图象下降.②在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
变式1
（1） 对于幂函数，若，则，的大小关系是 （ A ）
A. B.
C. D. 无法确定
解：幂函数 在 上单调递增，大致图象如图所示.
设，，其中，则 的中点 的坐标为,，且，，.因为，所以.故选 .
（2） 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则1.
解：因为函数 在 上单调递减，所以.解得.又，所以，2.
因为函数 的图象关于 轴对称，所以 为偶数，故.故填1.
（3） [2021年新课标Ⅱ卷]写出一个同时具有下列性质①②③的函数（答案不唯一，，均满足）.．
；②当时，；是奇函数．
解：取，则，满足①.，当 时，有，满足②.的定义域为.又，故 是奇函数，满足③．故填（答案不唯一，，均满足）.
考点二 指数幂的运算
例2
（1） 计算：
① ;
解：原式.
② ；
[答案]
原式
.
③ .
[答案]原式.
（2） 【多选题】已知，下列各选项中正确的是 （ ABD ）
A. B.
C. D.
解：中，，故 正确.
中，，故 正确.
中，显然，，所以，故 错误.
中，因为，且，所以，所以，故 正确.故选.
【点拨】 指数幂运算的一般原则：①首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算.②先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.③底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.④运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
变式2
（1） .
解：原式.故填 .
（2） 若,,则6.
解：.故填6.
（3） 若，则52.
解：由题意，知，则.所以.故填52.
考点三 对数的运算
例3
（1） 2.
解：原式.
故填2.
（2） 10.
解：原式.故填10.
（3） 设，且，则等于（ A ）
A. B. 10C. 20D. 100
解：因为，所以，.
所以，即.解得（负值舍去）.
故选.
【点拨】 对数式的化简、求值问题，要注意对数运算性质的逆向运用，但无论是正向还是逆向运用都要注意对数的底数须相同.
变式3
（1） 【多选题】下列运算正确的是（ AB ）
A.
B.
C.
D. 若，则实数
解：,正确.
,正确.
原式 ,错误.
因为，所以.所以，所以,错误.故选 .
（2） [2022年浙江卷]已知,，则（ C ）
A. 25B. 5C. D.
解：因为，，即，所以.故选.
考点四 实际运用
例4 齐奥尔科夫斯基于1903年给出火箭在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下的最大速度计算公式.其中， 是燃料相对于火箭的喷射速度，是火箭加燃料的质量，是消耗完燃料的火箭的质量，是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，燃料的总质量至少是消耗完燃料的火箭的质量的（ B ）
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
解：由题意,可知，则.设燃料质量为，则有.故，即，即燃料的总质量至少是消耗完燃料的火箭的质量的 倍.故选.
【点拨】 实际应用问题，常利用指对互化，换底公式等求解，有时还涉及近似计算，侧重对数学运算核心素养的考查.
变式4 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间（单位：）后的温度是，则，其中称为环境温度，称为半衰期．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降到需要，那么此杯咖啡从降到时，还需要10．
解：由已知，，，可得，解得.此杯咖啡从 降到 时，可得，解得
故填10.