2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.1函数的概念及其表示

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第二章函数2.1函数的概念及其表示，共8页。试卷主要包含了函数的概念，求函数的定义域，求函数的解析式，分段函数等内容，欢迎下载使用。

例1 下列函数为同一函数的是（ C ）
A. 与B. 与
C. 与D. 与
解：对于，定义域是，定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数.
对于，，定义域是，定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数.
对于，，定义域是，，定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数.
对于，，定义域是，，定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选.
【点拨】 根据函数的定义，直线（是常数）与函数的图象至多有1个交点.同一函数要求定义域和对应关系都相同.
变式1 【多选题】下列各图中，可能是函数图象的是（ ACD ）
B.
C. D.
解：中，当 时，有两个 值与之对应，不是函数.其他均符合函数的定义.故选.
考点二 求函数的定义域
命题角度1 已知解析式求函数定义域
例2 函数的定义域为（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意，得 解得，所以 的定义域为.故选.
【点拨】 求函数定义域的原则：用列表法表示的函数的定义域，是指表格中实数的集合；用图象法表示的函数的定义域，是指图象在轴上的投影所对应的实数的集合；当函数用解析法表示时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合，一般通过列不等式（组）求其解集.常见的限制条件有：分式的分母不等于0，对数的真数大于0，偶次根式下的被开方数大于或等于0等.
变式2
（1） 函数的定义域是（ A ）
A. B. C. D.
解：由 解得
即 且.所以函数 的定义域是.故选 .
（2） 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ A ）
A. B. C. D.
解：由题意及二次函数性质，知，解得，即.故选.
命题角度2 求抽象函数的定义域
例3 若函数的定义域是，则函数的定义域是 .
解：因为函数 的定义域是，
所以，解得.
所以函数 的定义域是.
故填.
【点拨】求抽象函数的定义域常用转移法.若的定义域为，则解不等式即可求出的定义域；若的定义域为，则求出在上的值域即得的定义域.
变式3 已知函数的定义域为，则的定义域为 .
解：由题意，得 解得.故所求定义域为.故填.
考点三 求函数的解析式
例4
（1） 已知是一次函数,且，则 .
解：因为 是一次函数，
可设，
所以,
即.
所以 解得
所以 的解析式是.故填 .
（2） 已知，则的解析式为 , .
解：令,，则，所以.所以,
故填 , .
（3） 设函数，则（ B ）
A. 1B. C. 10D.
解：由已知，得，联立 消去，得.所以
故选 .
【点拨】 函数解析式的求法如下.①待定系数法.已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法.②换元法.已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.③配凑法.由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以替代，便得的解析式.④消去法（即函数方程法）.已知与或之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出.
变式4
（1） 已知一次函数满足，则或.
解：设，则.所以 所以 或 故 或.故填或.
（2） 已知，则 .
解：，所以 故填 .
（3） 已知，则（ A ）
A. B. C. D.
解：因为，
所以，
联立①②，解得.故选 .
（4） 若函数满足，则的解析式为 ．
解：由题意，令，得.令，得，则.故填．
考点四 分段函数
例5
（1） 已知函数若，则4.
解：依题意，当 时，函数 单调递增，；当 时，单调递增，.因此由，得，解得
故填4.
（2） 设函数则当时，使得成立的的取值范围是 ；当时，使得成立的的取值范围是 .
解：若，则当 时，，解得，所以.
当 时，，解得，所以.
综上，的取值范围是.
若,则 与 均小于等于1不可能.当 且 时，由，得,;当 且 时，由，得.综上，.
故填;.
（3） 已知函数的值域为，则的最小值为 （ A ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
解：当 时，，值域为；当 时，，值域为.因为函数 的值域为，所以，则 的最小值为1.故选.
【点拨】 ①此类分段函数与方程交汇问题，关键点是抓住“分段问题、分段解决”的核心思想，结合函数单调性及参数的特点分区间讨论，最后将结果合并起来.②解决分段函数的单调性问题,要注意“通观全局”，即对于分段函数在上单调，需满足每一段具有相同的单调性,还需要分段点两侧的值也符合该单调性.③已知分段函数的值域或最值求参数范围，可先求函数在各区间段的值域或最值，再结合已知条件建立不等式（组）求解.必要时可先分析函数性质，再画图实现数形结合.
变式5
（1） 已知函数若，则实数的取值范围是 （ C ）
A. B.
C. D.
解：因为 在 上单调递增，在 上单调递增，且 在 处连续，所以函数 在 上单调递增.
所以 等价于，解得.所以实数 的取值范围是.故选 .
（2） 已知的值域为，那么实数的取值范围是（ C ）
A. B. ，C. ，D. ，
解：当 时，.要使函数 的值域为，如图所示，需使 解得，即实数 的取值范围是，故选.
（3） 函数的值域为 .
解：函数 作出函数的图象如图所示.
根据图象，知函数 的值域为.故填.