2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.5第2课时一元二次不等式

这是一份2025高考数学一轮考点突破训练第一章集合与常用逻辑用语不等式1.5第2课时一元二次不等式，共7页。试卷主要包含了一元二次不等式的解法，三个“二次”的关系，与一元二次不等式有关恒成立问题等内容，欢迎下载使用。

例1
（1） 设集合,,则（ B ）
A. B. C. D.
解：因为,
,
所以.故选.
（2） 解关于的不等式.
解：原不等式可化为，
即.
当 时，原不等式可化简为，
原不等式的解集为.
当 时，原不等式的解集由 和 的大小决定，当 时，;当 时，；当 时,；当 时，.
所以不等式的解集为：当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，.
【点拨】 ①解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集.②对于含参一元二次不等式的求解，常需要分类讨论，分类标准有：二次项系数符号、不等式对应方程根的大小及判别式符号等.
变式1
（1） 不等式的解集是（ D ）
A. 或B.
C. 或D.
解：不等式可化为，解得.故选.
（2） 已知关于的不等式仅有一个整数解，求实数的取值范围.
解：由，得.
当 时，不等式无实数解.
当 时，不等式的解为.要使不等式只有一个整数解，则，即.
当 时，不等式的解为.要使不等式只有一个整数解，则，即.
综上，实数 的取值范围是．
考点二 三个“二次”的关系
例2 【多选题】已知关于的不等式的解集为，则（ BD ）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为,
解：因为 的解集为，所以 解得 错误.
对于,将 代入，得，解得，正确.
对于,因为不等式 的解集为，所以当 时，，错误.
对于,将 代入，得，即，解得，正确.故选.
【点拨】 三个“二次”的关系前面已进行梳理，应用时要注意“心中有图”“数形结合”，并注意最高次幂系数的正负.
变式2 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ A ）
A. B.
C. D. 或
解：由题意，得 解得 所以不等式 为，即，解集为.
故选.
考点三 与一元二次不等式有关恒成立问题
命题角度1 在R上的恒成立
例3 对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ A ）
A. B.
C. D.
解：依题意，当，即 时，恒成立，满足题意.
当 时，要使不等式恒成立，
需 即
解得.
综上，实数 的取值范围为.故选.
【点拨】在上的恒成立，结合本节【常用结论】处理即可，注意讨论二次项系数.
变式3 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为 .
解：由题意，知原命题的否定“
，”为真命题.
当 时，不等式为，符合题意.
当 时，解得.
综上，实数 的取值范围为.故填.
命题角度2 在给定区间上恒成立
例4 若对任意，都有成立，则实数的取值范围是 ，.
解：当 时，.当 时，.而 在 上单调递减，所以.故填 ，.
【点拨】 在给定区间上的恒成立，常可用分离参数的方法转化为函数值域问题，很多时候都可以减少不必要的讨论.
变式4
（1） 若不等式对一切都成立，则实数的取值范围是,．
解：由题意，知 对一切 恒成立.令，可知 成立.当 时，函数 单调递减，所以.所以.故填,.
（2） 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 ．
解：.依题意，知，，即 恒成立.显然函数 的图象是开口向上的抛物线，所以 解得.所以实数 的取值范围是.
另解：分类讨论后分离参数.故填.
命题角度3 给定参数范围的恒成立
例5 对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（ B ）
A. B.
C. D.
解：设.
由 在 上恒成立，
得 解得
所以 或.
所以 的取值范围是.故选.
【点拨】 给定参数范围的恒成立，常采用变更主元的方法,转化为一次函数在上恒成立问题：若恒成立即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零；同理，若恒成立
变式5 已知集合，对于任意，使不等式恒成立的的取值范围为（ B ）
A. 或 B. 或
C. D.
解：（方法一）构造，由 且,得 或.
（方法二）由，得，所以.
不等式 对 恒成立，
即不等式 对 恒成立，即不等式 对 恒成立.
所以只需 或 对 恒成立.
所以只需 或 对 恒成立.
因为，所以 或.
故选.