2025版高考数学一轮总复习单元检测第一章集合与常用逻辑用语不等式（附解析）

这是一份2025版高考数学一轮总复习单元检测第一章集合与常用逻辑用语不等式（附解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个命题中正确的是（ D ）
A. B.
C. 集合有两个元素D. 集合是有限集
解：易知，均不正确.
只有一个元素，不正确.
中只有两个元素，正确.
故选.
[2023年新课标Ⅰ卷]已知集合,,0,1,，
，则（ C ）
A. ,,0,B. C. D. 2
解：因为，,,0,1,，所以．
故选．
3. 命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（ D ）
A. 存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等
B. 锐角三角形的三个内角都相等
C. 锐角三角形的三个内角都不相等
D. 锐角三角形的三个内角不都相等
解：命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”．故选.
4. 已知,，则“”是“”的（ D ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
解：当，时，满足，此时；
当，时，满足，此时.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选.
5. 若实数，，满足，则（ B ）
A. B.
C. D.
解：因为实数，，满足，所以.则，，大小不等，且 在，之间.取，则，即，都不正确.而，即 不正确，正确.故选.
6. 函数的单调递增区间为（ C ）
A. ,B. C. ,D. ,
解：令，解得 或.
根据二次函数性质，知 在 上单调递减，在,上单调递增.
又因为 在定义域上单调递增，故 的单调递增区间为,.故选.
7. 已知，则的最小值为（ D ）
A. 3B. C. 4D.
解：因为，，且，
所以，
当且仅当 时，等号成立.故 的最小值为.故选.
8. 某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为，则不等式的解集为（ C ）
A. ,B. ,
C. ,D. ,
解：由题意，可知，且,，所以,.所以 可化为，即，解得.故选.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 不等式的解集为，则（ BC ）
A. ，B. ，C. D.
解：由题意，知,4是方程 的两根，则，，故 错误，正确.因为，所以，故 正确.当 时，不正确.故选.
10. 已知，均为实数集的子集，且 ，则下列结论中一定正确的是（ BD ）
A. B.
C. D.
解：因为 ，所以 .
若 是 的真子集，则 ，故 错误.
由,得，故 正确.
由,得，故 错误，正确．
故选．
11. 二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是 （ ACD ）
A. B. C. D.
解：由题图，知抛物线开口向下，所以.令，则，图象的对称轴为，所以，故 正确.
，故 错误.
因为对称轴为，所以 与 对应的函数值相等.由题图，可得当 时，，则当 时，，故 正确.
因为，，所以，则，故 正确.故选.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，，且，则2.
解：当，即 时，，，舍.当 时，或.若，则,，符合要求.故填2.
13. 设，则函数的最小值为-1.
解：，当且仅当，即 时，等号成立.故填.
14. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是，.
解：命题“，使得”是假命题，即“,”是真命题，故，解得.故填，.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）已知为全集，，.
（1） 求；
解：由，得,即，
所以.
（2） 求与.
[答案]因为 或，
故 或，.
16. （15分）已知.
（1） 比较与的大小关系并证明．
解：.证明如下：
.
因为，所以，，.
所以，所以．
（2） 证明：．
证明：因为，所以，且．
则．所以．
17. （15分）已知函数的定义域为，函数的值域为.
（1） 若，求集合,；
解：由，解得 或.
所以集合 或.
当 时，，对称轴为.
因为，
所以.
又当 时，.
所以.
（2） 若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
[答案]
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以.
又因为，，
所以.
因为 或，
所以 或，解得 或.
故实数 的取值范围为.
18. （17分）某学校设计如图所示的环状田径场，该田径场的内圈由两条平行线段（图中的，）和两个半圆构成，设为，且.
（1） 若图中矩形的面积为，则当取何值时，内圈周长最小？
解：，
则，
则内圈周长为，当且仅当 即 时，内圈周长取到最小值.
（2） 若内圈的周长为，则当取何值时，矩形的面积最大？
[答案]
若内圈周长为，则，
则
，
故当 时，矩形 的面积最大为.
19. （17分）已知二次函数的最小值为1，且.
（1） 求的解析式；
解：由，可得函数 图象的对称轴为.
又函数 的最小值为1，故可设，
则，解得.
所以.
（2） 若在区间上不单调，求实数的取值范围；
[答案]
若函数 在区间 上不单调，则，解得.
故实数 的取值范围为,.
（3） 当,时，恒成立，求实数的取值范围.
[答案]
当,时，恒成立，
即 恒成立，
即 恒成立.
设，则 的图象开口向上，对称轴为.
又 在,上恒成立，即.
当，即 时，在,上单调递增，则，解得.则.
当，即 时，
，解得.则.
当，即 时，在,上单调递减，则，解得（舍去）.
综上所述，实数 的取值范围为,．