2025版高考数学一轮总复习单元检测第三章一元函数的导数及其应用（附解析）

这是一份2025版高考数学一轮总复习单元检测第三章一元函数的导数及其应用（附解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列求导运算正确的是（ C ）
A. B.
C. D.
解：对于,，故不正确.
对于,，故不正确.
对于,，故正确.
对于,，故不正确.故选.
2. 函数，则的单调递增区间是（ B ）
A. B. C. D.
解：函数 的定义域为，求导得.由，解得.
所以 的单调递增区间是.
故选 .
3. 曲线在,处的切线方程为（ C ）
A. B. C. D.
解：,.
所以曲线 在,处的切线方程为，即.故选.
4. 函数的极小值点为（ D ）
A. B. C. D.
解：由题意，得 的定义域为.
.
令，得；令，得.
所以 在,上单调递减，在,上单调递增.
所以函数 在 处取得极小值．故选.
5. 在区间上有（ B ）
A. 最大值B. 最大值C. 最小值D. 最小值
解：，单调递增，在 上有最小值，最大值 .故选.
6. 如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（ D ）
A. B.
C. D.
解：由题图，可得函数 的单调递增区间为，，单调递减区间为.
所以当 时，；当 时，.
由，可得 或 所以.故选.
7. 已知函数，若,,，则,,的大小关系是（ D ）
A. B. C. D.
解：易知 的定义域为，且，所以 为偶函数.
当 时，，则，所以 在 上单调递增.
又，，所以.所以，即.故选.
8. 根据以往经验，一超市中的某一商品每月的销售量（单位：件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为20元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最大值为（ B ）
A. 8 600元B. 8 060元C. 6 870元D. 4 060元
解：设超市每月销售该商品所获得的利润为 元.
则，.
.
令，得，则 在 上单调递增；令，得，则 在 上单调递减.所以.
故选．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 （ AD ）
A. B. 是的极小值点
C. 函数在上有极大值D. 是的极大值点
解：由 的图象，可知当 时，，函数 单调递增；当 时，，函数 单调递减.
因此有，是 的极大值点，所以选项,正确.
当 或 时，，函数 单调递增.因此函数 在 上没有极大值，且 不是 的极小值点，所以选项,错误.
故选.
10. 已知函数，则 （ ACD ）
A. 为其定义域上的增函数B. 为偶函数
C. 的图象与直线相切D. 有唯一的零点
解： 的定义域为，，所以 为 上的增函数，正确.
，故 为奇函数，错误.
,，故 在原点处的切线方程为，正确.
为 上的增函数，，所以 有唯一的零点，正确.
故选.
11. 已知三次函数的导函数的图象如图，且，，则（ ABC ）
A. B.
C. D.
解：根据导函数 的图象，可知.当 时，,
当 时，,当 时，.所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故其大致图象如图所示.
则有,所以，故 正确.
所以，故 正确.
由 的图象，结合,知，，,所以，故 正确.
因为，所以.又 在 上单调递增，所以，故 错误.
故选.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. [2020年全国Ⅲ卷]设函数.若，则1.
解： ，则，整理得，解得.
故填1.
13. 已知函数,，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则
解：由题意，得，.
因为,的图象在公共点 处有相同的切线，所以 即 解得 所以.故填.
14. 已知函数，则的最小值为3．
解：.
当 时，单调递增，.
当 时，，
.
当 时，，单调递减；当 时，，单调递增.
所以.
综上，.故填3．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）求下列函数的导数：
（1） ；
解：
.
（2） .
[答案].
16. （15分）已知函数.
（1） 若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
解：由题意,得，
.因为曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
所以，解得.
（2） 若函数在区间上单调递减，求的取值范围.
[答案]
因为函数 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上恒成立，故.
当 时，的最大值为.故 的取值范围是.
17. （15分） 设函数.
（1） 求函数的解析式；
解：，
所以.
（2） 求函数的单调区间，极大值，极小值.
[答案]
令，
解得 或.因为，所以.
当 变化时，,变化情况如下.
所以的单调递增区间为,，单调递减区间为.
的极大值为，极小值为.
18. （17分）已知函数在处的极值为2，其中.
（1） 求，的值；
解：，
由题意，可得 解得,.
（2） 证明：对任意的，.
证明：.
令，，
则.
令，则 恒成立，所以 在 上单调递减，且，
所以 时，，
所以，即证.
19. （17分）已知函数．
（1） 求证：.
解：证明：由题意，得.
令，则.
令，可得.
当 时，，函数 单调递增；
当 时，，函数 单调递减.
所以，即．
（2） 设，若在区间内恒成立，求的最小值．
[答案]
若 在区间 内恒成立，则.令，
可得.
当 时，，函数 单调递增；当 时，，函数 单调递减.
所以，因此.
故 的最小值为1．







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极大值

极小值