2025版高考数学一轮总复习单元检测第九章概率与统计（附解析）

这是一份2025版高考数学一轮总复习单元检测第九章概率与统计（附解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知A，B，C三个社区的居民人数分别为600，，，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取一个容量为的样本，若从C社区抽取了15人，则（ A ）
A. 33B. 18C. 27D. 21
解：由题意，得，解得.故选.
2. 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是 （ A ）
A. 至少有一个白球；都是白球B. 至少有一个白球；至少有一个红球
C. 至少有一个白球；红、黑球各一个D. 恰有一个白球；一个白球一个黑球
解：对于，至少有一个白球和都是白球这两个事件能同时发生，不是互斥事件，不是.
对于，至少有一个白球和至少有一个红球这两个事件能同时发生，不是互斥事件，不是.
对于，至少有一个白球和红、黑球各一个这两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，是.
对于，恰有一个白球和一个白球一个黑球这两个事件能同时发生，不是互斥事件，不是.
故选.
3. 一组数据,,,的平均数是2，方差是2，则数据，，，的平均数与方差分别为（ D ）
A. 3,4B. 2,8C. 2,4D. 5,8
解：平均数为,方差为.故选.
4. 的展开式中，的系数为（ B ）
A. 200B. 40C. 120D. 80
解：，而 展开式的通项为，
所以 的系数为.
故选.
5. [2022年天津卷]为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为,,,,，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， ，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ B ）
A. 8B. 12C. 16D. 18
解：志愿者的总人数为，所以第三组人数为，有疗效的人数为.故选.
6. [2024年九省联考]甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ B ）
A. 20种B. 16种C. 12种D. 8种
解：因为甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，所以乙、丙及中间2人占据首四位或尾四位，且甲在乙、丙中间．
当乙、丙及中间2人占据首四位时，此时还剩末位，排乙、丙有 种方法，排甲有 种方法，剩余两个位置余下两人全排列有 种排法，所以有（种）排法．
当乙、丙及中间2人占据尾四位时，同理有（种）排法．
由分类加法计数原理，可知一共有（种）排法．故选．
7. 某中学在高三上学期期末考试中，一班的数学成绩.若已知，则从一班中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为（ D ）
A. 0.86B. 0.64C. 0.36D. 0.14
解：因为，所以.
因为，所以.
所以.
故选.
8. 某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ A ）
A. B. C. D.
解：设事件 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件 为“学生丙第一个出场”，
则，，
则.
故选.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的是 （ ACD ）
A. 在回归分析中，样本相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强
B. 对分类变量与，它们的随机变量的观测值越小，说明“与有关系”的把握越大
C. 经验回归直线恒过样本中心
D. 在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
解：对于，回归分析中，对于样本相关系数，越接近1，相关程度越强，正确.
对于，对分类变量 与，它们的随机变量 的观测值越小，说明“与 有关系”的可能性越小，错误.
对于，经验回归直线一定恒过样本中心，正确.
对于，在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，正确.
故选.
10. 某新能源汽车厂根据2023年新能源汽车销售额（单位：万元）和每月销售额占全年销售额的百分比绘制了如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（ ABC ）
A. 2023年第四季度销售额最低B. 2月销售额占全年销售额的
C. 2023年全年销售总额约为1 079万元D. 7月的销售额约为46万元
解：由题图，知第四季度销售额占全年销售额的,第三季度为，第二季度为，第一季度为，故第四季度最低，正确.
2月销售额占全年总销售额的，正确.
全年总销售额为（万元），正确.
7月的销售额为（万元），错误.
故选.
11. 已知，则（ BCD ）
A. B.
C. D.
解： 的通项为.令，得，错误.
，正确.
令,得，正确.
等于 的展开式的各项系数之和，令，得，正确.
故选.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的第75百分位数是86.
解：成绩从小到大排列为：76，81，82，82，83，84，85，86，87，90.
由，知第75百分位数是第8个数据，即86.
故填86.
13. 随机变量的分布列如下.
其中，，成等差数列，若，则的值是5.
解：因为，，成等差数列，所以.
又,且,
解得,,.
所以,
则.
故填 5.
14. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，,，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为0.08.
解：以,,分别表示取得的这盒 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示“取得的 光片为次品”，
则,,,
,,.
由全概率公式，知所求概率为

故填0.08.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
（1） 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
解：由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
（2） 依据的独立性检验,能否认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：.
[答案]
.
由于，故认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05.
16. [2020年全国Ⅰ卷]（15分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务,甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
（1） 分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
解：由试加工产品等级的频数分布表，知甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为.
（2） 分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
[答案]
由数据,知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
（元）.
由数据,知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
（元）.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
17. （15分）下表是某地区2017年至2023年人均年纯收入（单位：万元）的数据.
（1） 求关于的线性经验回归方程；
解：由表中数据，计算，，
，
.所以，
.
所以关于的线性经验回归方程.
（2） 利用（1）中的经验回归方程，分析2017年至2023年该地区人均年纯收入的变化情况，并预测该地区2024年人均年纯收入（结果精确到）.
附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
[答案]由（1）中的经验回归方程，知该地区2017年至2023年人均年纯收入逐年递增，预测该地区2024年人均年纯收入为（万元）.
18. （17分）为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率均为，每位选手每次编程都互不影响.
（1） 求乙闯关成功的概率；
解：乙正确完成2个程序或者3个程序,则闯关成功.记乙闯关成功为事件，则.
（2） 求甲编写程序正确的个数的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
[答案]
由题意,知随机变量 所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，.
故 的分布列为
.
甲闯关成功的概率为.因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.
19. （17分）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：），将数据分成,,,,,共6组，得到如下的频数分布表.
以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率.
（1） 若从这批零件中随机抽取3个，记为抽取的零件的长度在的个数，求的分布列和数学期望；
解：从这批零件中随机选取1件，长度在 的概率.
随机变量 的可能取值为0,1,2,3.
则,
，
,
.
所以随机变量 的分布列为
所以.
（2） 若变量满足，且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布，如果这批零件的长度（单位：）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收？并说明理由.
[答案]
由题意,知,.
，
.
因为,
，
所以这批零件的长度满足近似于正态分布 的概率分布.
所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收.

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等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
等级
A
B
C
D
频数
28
17
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21
利润
65
25


频数
40
20
20
20
利润
70
30
0

频数
28
17
34
21
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
年纯收入
2
3
3.5
4
4.5
5
6

0
1
2
3





长度






频数
3
15
42
42
15
3

0
1
2
3

0.027
0.189
0.441
0.343