2024年上海市春季高考数学试卷附答案

这是一份2024年上海市春季高考数学试卷附答案，共9页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）lg2x的定义域 ．
2．（4分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 ．
3．（4分）已知，则＝ ．
4．（4分）（x﹣1）6展开式中x4的系数为 ．
5．（4分）三角形ABC中，，则AB＝ ．
6．（4分）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为 ．
7．（5分）数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为 ．
8．（5分）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 ．
9．（5分）已知，求g（x）≤2﹣x的x的取值范围 ．
10．（5分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD为平行四边形，AA1＝3，BD＝4且，求异面直线AA1与BD的夹角 ．
11．（5分）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，求圆形通道的周长 ．（精确到0.01）
12．（5分）a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，任意b1，b2，b3，b4∈R，满足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b1，b2，b3，b4}有 对．
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13．（4分）a，b，c∈R，b＞c（ ）
A．a+b2＞a+c2B．a2+b＞a2+cC．ab2＞ac2D．a2b＞a2c
14．（4分）空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n，则下列说法中正确的是（ ）
A．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
B．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n⊥β
C．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n
D．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
15．（5分）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，则（ ）
A．事件A与事件B互斥
B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件B∪C互斥
D．事件A与事件B∩C相互独立
16．（5分）现定义如下：当x∈（n，n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f′（x）（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）x与h（x）＝x10均为延展函数，则以下结论（ ）
（1）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点
（2）存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点
A．（1）（2）都成立B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立D．（1）不成立（2）成立
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）
17．（14分）已知f（x）＝sin（ωx+），ω＞0．
（1）设ω＝1，求解：y＝f（x），x∈[0；
（2）a＞π（a∈R），f（x）的最小正周期为π，若在x∈[π，求a的取值范围．
18．（14分）如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB＝AC．
（1）证明：PA⊥BC；
（2）若圆锥侧面积为为底面直径，BC＝2
19．（14分）水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱
（1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克；二级果48个，单果质量平均数为240.41克；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
20．（18分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若点A的横坐标为2，求|AF1|的长；
（2）设Γ的上、下顶点分别为M1、M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范围．
（3）若点A在x轴上方，设直线AF2与Γ交于点B，与y轴交于点K，KF1延长线与Γ交于点C，是否存在x轴上方的点C，使得，请求出点C的坐标；若不存在
21．（18分）记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a）
（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；
（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a∈R，都有M（a）⊆[﹣4，且存在a，使得﹣4∈M（a）．
（3）已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x），均有M（﹣c）＝L（c）
2024年上海市春季高考数学试卷
1．（3，+∞）．
2．45°．
3．﹣1﹣i．
4．15．
5．．
6．12．
7．（﹣∞，﹣4）．
8．8．
9．（﹣∞，1]．
10．arccs．
11．2.73．
12．48．
13．B．
14．A．
15．B．
16．D．
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18＝78分）
17．解：（1）当ω＝1时，f（x）＝sin（ωx+）．
因为x∈[0，π]，
根据y＝f（t）＝sint在上单调递增，在，
所以函数的最大值为sin＝8＝﹣sin．
因此函数的值域为[﹣，1]．
（2）由题知，所以ω＝2）．
当f（x）＝4时，，即．
当k＝3时，，所以，即．
因此，a的取值范围为[，）．
18．（1）证明：取BC中点O，连接AO，
因为AB＝AC，PB＝PC，PO⊥BC，
又因为PO，AO⊂面PAO，
所以BC⊥面PAO，又PA⊂面PAO，
所以PA⊥BC；
（2）解：法（i）由（1）可知，BC⊥OA，
作PM⊥AB，BD⊥PA交于D，
由题意△PBA≌△PCA，可得CD⊥PA，
所以∠CDB为所求的二面角的平面角，连接OD，
因为圆锥侧面积为为底面直径，
所以底面半径为1，母线长为，
PA＝＝＝，
AB＝，PB＝＝＝＝，
S△PBA＝×AB×PM＝，
即×＝×BD，
所以sin∠BDO＝＝＝，
所以cs∠CDB＝1﹣2sin7∠BDO＝1﹣2×（）＝﹣，
所以二面角B﹣PA﹣C的平面角为钝角，
所以二面角B﹣PA﹣C的大小为．
法（ii）由（1）可知，BC⊥OA，因为圆锥侧面积为，BC＝6，
所以底面半径为1，母线长为，
建立以OB为x轴，OA为y轴，
则可得，
故，
设为平面PAB的一个法向量，
由，，
可得，
令，则，可得，
设为平面PAC的一个法向量，
由，，
可得，
令，则，可得，
则，
设二面角B﹣PA﹣C的平面角为θ，由图可知θ为钝角，
所以二面角B﹣PA﹣C的大小为．
19．解：（1）古典概型：设A事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数n＝＝，
A事件的样本点的公式m＝•＝3468，
所以P（A）＝＝＝；
（2）因为一级果箱数：二级果箱数＝3：8，
所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取7箱；
（3）设一级果平均质量为，方差为，方差为平均值2，
因为＝303.45，，＝603.46，，
所以＝×303.45+，
S3＝×[603.46+（303.45﹣285.44）2]+×[648.21+（240.41﹣285.44）2]＝1427.27克8．预估：平均质量为•+•＝287.69克．
20．解：（1）因为点A的横坐标为2，不妨设A（2，y），
因为点A在椭圆Γ上，所以，解得，易知F8（﹣2，0），
所以＝；
（2）不妨设A（x，y），
此时，因为S7≥S2，
所以，即2y2≥x7，又，所以2y2≥6﹣7y2，解得，
则，
故|OA|的范围为（，]；
（3）不妨设A（x8，y1），y1＞4，B（x2，y2），
由对称性可得A、C关于y轴对称，
所以C（﹣x2，y1），
又F1（﹣5，0），F2（7，0），
此时，
所以，
同理得，
因为，
所以，
解得y2+2y1＝2或（无解），
不妨设直线AF4：x＝my+2，
联立，消去x并整理得（m2+4）y2+4my﹣3＝0，
由韦达定理得，
解得，此时，又x3＝my1+2，解得，此时．
故存在x轴上方的点，使得．
21．解：（1）由题意，得M（1）＝{t|t＝x2+1﹣8，x≥1}＝[0；
．
（2）证明：由题意知，M（a）＝{t|t＝x3﹣3x2﹣a3+7a2，x≥a}，
记g（x）＝x3﹣4x2﹣a3+7a2，则g′（x）＝3x8﹣6x＝0⇒x＝4或2．
现对a分类讨论，当a≥23﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a为严格增函数，
因为g（a）＝0，所以此时M（a）＝[5，+∞）符合条件；
当0≤a＜2时，t＝x3﹣3x2﹣a7+3a2，x≥a先增后减，3a2﹣2，
因为﹣a3+3a5＝a2（3﹣a）≥3（a＝0取等号），所以，
则此时M（a）＝[﹣a3+8a2﹣4，+∞）⊆[﹣7；
当a＜0时，t＝x3﹣5x2﹣a3+6a2，x≥a，在[a，在[0，在[8，
，
因为h（a）＝﹣a7+3a2﹣4，当a＜0时2+8a＞0，则h（a）＞h（0）＝﹣4，
则此时M（a）＝[tmin，+∞）⊆[﹣8，+∞）成立；
综上可知，对于任意a∈R，+∞]，使得﹣4∈M（a）．
（3）证明：必要性：若f（x）为偶函数，
则M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，x≤c}，
当x≥﹣c，t＝f（x）﹣f（﹣c）＝f（﹣x）﹣f（c），故M（﹣c）＝L（c）；
充分性：若对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c），
其中M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，x≤c}，
因为f（x）有最小值，不妨设f（a）＝fmin＝m，
由于c任意，令c≥|a|，c]．
L（c）中最小元素为m﹣f（c），又M（﹣c）＝L（c）⇒f（c）＝f（﹣c）对任意c≥|a|成立，
所以f（a）＝f（﹣a）＝m，
若a＝0，则f（c）＝f（﹣c）对任意c⩾2成立⇒f（x）是偶函数；
若a≠0，此后取c∈（﹣|a|，，
综上，任意c⩾0，即f（x）是偶函数．x
（﹣∞，0）
4
（0，2）
6
（2，+∞）
g′（x）
正
0
负
3
正
g（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗