浙江省湖州市德清县第六中学2023-2024学年高一下学期数学期末试卷（一）

这是一份浙江省湖州市德清县第六中学2023-2024学年高一下学期数学期末试卷（一），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ）
A．11B．13C．16D．17
2．已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（ ）（，）
A．B．C．D．
4．已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
6．如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
8．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ）
A．高为2 B．母线长为3 C．表面积为14π D．体积为π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）
A．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
B．甲种的样本方差大于乙种的样本方差
C．甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数
D．甲乙两种水稻近五年的总方差为
10．同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ）
A．事件A与事件B对立B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件C相互独立D．
11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．动点的轨迹是一条线段
C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面
上一点，则线段长度的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为 ．
13．已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为 .
14．已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点（包含边界），E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则AP的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时甲获胜的概率；
(2)求乙最终以分获胜的概率．
16．（本小题满分15分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为
(1)求A；
(2)求周长的最大值.
17．（本小题满分15分）甲､乙､丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为.因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙､甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大.
18．（本小题满分17分）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
(3)若，求二面角的正切值．
19．（本小题满分17分）任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.
(1)试将写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；
(3)计算：的值.
2023-2024学年高一数学下学期期末试卷（一）答案
1．有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ）
A．11B．13C．16D．17
【答案】D
【解析】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，
因为，所以这组数据的上四分位数为，故选D
2．已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】设R)，则，
由，得，
即，所以，
解得，故，
所以复数z在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选B
3．如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（ ）（，）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 依题意得，，
在中，米，，
由正弦定理得，得米，
又
所以该山顶的海拔高度为米.
故选：B
4．已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
所以在方向上的投影向量为，故选：A
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【解析】 对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；
对于B选项，若，，则，故B选项正确；
对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误；
对于D选项，若，，则或，故D选项错误；
故选：B
6．如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】 因为为平行四边形对角线上一点，交于点，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，故选：C
7．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】，
即，故，
，
因为，所以，故，
因为，所以，
故为等腰直角三角形.
故选：D
8．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图①)，图②是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则下列关于该圆台的说法错误的是（ ）
A．高为2B．母线长为3
C．表面积为14πD．体积为π
【答案】D
【解析】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝×3，即r＝1；2πR＝×6，即R＝2.又圆台的母线长为l＝6－3＝3，所以圆台的高h＝＝2，故A，B正确．圆台的表面积S＝π(1＋2)×3＋π×12＋π×22＝14π，故C正确；圆台的体积V＝π×2×(22＋12＋2×1)＝π，故D错误．故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）
A．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
B．甲种的样本方差大于乙种的样本方差
C．甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数
D．甲乙两种水稻近五年的总方差为
【答案】ACD
【解析】 对于A，，，正确；
对于B，因为甲、乙平均值都为，所以，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，错误；
对于C，，故甲种样本的分位数为，
乙种样本的分位数为，所以甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数，正确；
对于D，甲乙两种水稻近五年的总方差为0.072，
故甲乙两种水稻近五年的总方差为
，
正确.
故选：ACD
10．同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（ ）
A．事件A与事件B对立B．事件A与事件B相互独立
C．事件A与事件C相互独立D．
【答案】BC
【解析】由题意，得，，，
对于A，当甲为奇数点，且乙为偶数点时，事件可以同时发生，所以事件A与事件B不互斥，故事件A与事件B不对立，故A错误；
对于B，由题意知，又，故事件A与事件B相互独立，故B正确；
对于C，，又，故事件A与事件C相互独立，故C正确；
对于D，由上知，，故D错误．
故选：BC．
11．如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（ ）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．动点的轨迹是一条线段
C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的
D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A：由题意可知：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，
可知正方体的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确；
对于B：如图分别取，的中点H，G，连接，，，．
由正方体的性质可得，
且平面，平面，所以∥平面，
同理可得：∥平面，
且，平面，所以平面平面，
而平面，所以平面，
所以点F的轨迹为线段GH，故B正确；
对于C：由选项B可知，点F的轨迹为线段GH，因为平面，
则点F到平面的距离为定值，
同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C不正确；
对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上．
因为截面平面，平面平面，所以．
同理可证，所以截面为平行四边形，所以点N为的中点．
在四棱锥中，侧棱最长，且．
设棱锥的高为h，
因为，所以四边形为菱形，
所以的边上的高为面对角线的一半，即为，又，
则，，
所以，解得．
综上，可知长度的取值范围是，故D正确．
故选：ABD．
12．已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为 ．
【答案】
【解析】 ，同理，
，，
由向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为.
13．已知函数和，其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为 .
【答案】
【解析】根据已知条件联立，即，整理有：，
因为两函数图象有交点，所以，即，
当时，无解；当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；综上，满足条件的、共对，
又根据已知条件、的所有取值情况为种，
所以两函数图象有交点的概率为.
14．已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．
14.【答案】
【解析】如图所示：

连接，则，
又平面，平面，故平面，
设为BC的中点，连接，
由于F分别是棱的中点，故，
则四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面，
又平面，
故平面平面，
由于平面BEF，故平面，
又因为P为正方形ABCD内的一动点，且平面平面，
故AM即为动点P的轨迹，
而，故AP的取值范围是15．（本小题满分15分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时甲获胜的概率；
(2)求乙最终以分获胜的概率．
【解】（1）设事件为“第三局结束甲获胜”，
由题意知，甲每局获胜的概率为，不获胜的概率为．
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
故.
（2）由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为，平的概率为，负的概率为，
设事件为“乙最终以分获胜”．
若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率．
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
此时的概率．
若第四局结束乙以分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：
（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），
（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．
此时的概率
故.
16．（本小题满分15分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，外接圆面积为
(1)求A；
(2)求周长的最大值.
【解】（1）已知向量，
则，
则，
所以，
则，
所以，
又，
故且，
所以，
又，
则；
（2）由（1）知：，
则，
由正弦定理可得：的外接圆半径为，
则，
即，
所以，
则，当且仅当且，即时等号成立，
故三角形周长的最大值为
17．（本小题满分15分）甲､乙､丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为.因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.
(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
(2)请帮助甲进行第一局的决策（甲乙､甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大.
【解】（1）若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，
其概率为；
②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，
其概率为.
所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为.
（2）若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：
甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，
所以甲能获得冠军的概率为.
若第一局为甲丙比，
则同上可得甲获得冠军的概率为.
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，
则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果.
因为，
所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大.
18．（本小题满分17分）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面平面．
(3)若，求二面角的正切值．
18【解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，
平面ABC，
则，，所以点A的曲率为，
所以．因为，所以△ABC为正三角形．
因为N为AB的中点，所以．
又平面ABC，平面ABC，所以，
因为，平面，所以平面．
（2）取的中点D，连接DM，DN．
因为N为AB的中点，所以且．
又且，所以且，
所以四边形CNDM为平行四边形，则．
由（1）知平面，则平面．
又平面，所以平面平面．
（3）取BC的中点F，连接AF，则．
因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为，平面，所以平面．
又平面，所以，过F作的垂线，垂足为H，连接AH，
则，又平面，所以平面，
又平面，，
所以∠AHF为二面角的平面角的补角．
设，，则，，．
由等面积法可得，则，
则，故二面角的正切值为．
19．（本小题满分17分）任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中i为虚数单位，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：，，则：.如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.
(1)试将写成三角形式；
(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；；
(3)计算：的值.
【解】（1）由于，故，
则；
（2）设模为1的复数为，
则
，
由复数乘方公式可得，
故；
（3）首先证明：；
由于，则，
则，故，
则可得
，
，
所以
.