山东2022-2023学年数学高二下学期期末概率及概率分布专项复习（原卷版+解析版）

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一、条件概率
①定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
②概率的乘法公式：由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)
二、条件概率的性质
设P(A)>0，则
①P(Ω|A)＝1；
②如果B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
③设eq \x\t(B)和B互为对立事件，则P(eq \x\t(B)|A)＝1－P(B|A)．
三、全概率公式
1.P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))；
2.定理1 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且
P(B)＝eq \(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))PBAi)＝eq \(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))PAiPB|Ai).
※贝叶斯公式
1.一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有
P(A|B)＝eq \f(PAPB|A,PB)
＝eq \f(PAPB|A,PAPB|A＋P\(A,\s\up6(－))PB|\(A,\s\up6(－))).
2.定理2 若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：
①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；
②A1＋A2＋…＋An＝Ω；
③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B，有
P(Aj|B)＝eq \f(PAjPB|Aj,PB)＝eq \(\f(PAjPB|Aj,\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))PAiPB|Ai)).
3.拓展：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B|eq \(A,\s\up6(－)))之间的内在联系
四、离散型随机变量的均值或数学期望
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
①数学期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn．
②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的平均水平．
五、均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量
①Y也是随机变量；
②E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
六、离散型随机变量的方差、标准差
1.若离散型随机变量X的分布列为
则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．
2.方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
七、均值与方差的四个常用拓广性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)
八、二项分布
若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pkqn－k(k＝0,1,2，…，n)
于是得到X的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
(q＋p)n＝Ceq \\al(0,n)p0qn＋Ceq \\al(1,n)p1qn－1＋…＋Ceq \\al(k,n)pkqn－k＋…＋Ceq \\al(n,n)pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p）
※二项分布的均值、方差
二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
九、超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，称分布列
为超几何分布列．
如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
※超几何分布的均值、方差
X服从超几何分布，即
X～H(N，M，n)时，E(X)＝np，D(X)＝eq \f(nM,N)(1－eq \f(M,N))eq \f(N－n,N－1)．
十、随机变量X的概率分布密度函数
f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))·e eq \s\up15(－eq \f(x－μ2,2σ2)) ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数
※正态曲线及其性质
1.正态曲线：
函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))·e eq \s\up15(－eq \f(x－μ2,2σ2)) ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2.正态曲线的性质：
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处到达峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：

甲 乙
十一、正态分布
1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq \f(1,σ\r(2π))·e eq \s\up15(－eq \f(x－μ2,2σ2)) ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，μ=0，σ=1时，称之为标准正态分布.
2.3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
3.正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
模拟预测
一、单选题
1．（22-23高二下·山东威海·期末）若随机变量，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高二下·山东威海·期末）某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其概率分布密度函数为，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（22-23高二下·山东东营·期末）现有两筐排球，甲筐中有10个白色球、5个红色球，乙筐中有4个黄色球、6个红色球、5个黑色球.某排球运动员练习发球时，在甲筐取球的概率为0.6，在乙筐取球的概率为0.4.若该运动员从这两筐球中任取一个排球，则取到红色排球的概率为（ ）
A．0.73B．0.36C．0.32D．0.28
4．（22-23高二下·山东聊城·期末）今年2月份教育部教育考试院给即将使用新高考卷的吉林、黑龙江、安徽、云南命制了一套四省联考题，测试的目的是教考衔接，平稳过渡．假如某市有40000名考生参加了这次考试，其数学成绩服从正态分布，总体密度函数为，且，则该市这次考试数学成绩超过90分的考生人数约为（ ）
A．4000B．3000C．2000D．1000
5．（22-23高二下·山东聊城·期末）托马斯·贝叶斯（ThmasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23高二下·山东菏泽·期末）有两箱零件，第一箱内有件，其中有件次品；第二箱内有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取个零件，则取出的零件是次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为：
甲产业收益分布列
乙产业收益分布列
则下列说法正确的是（ ）
A．甲产业收益的期望大，风险高B．甲产业收益的期望小，风险小
C．乙产业收益的期望大，风险小D．乙产业收益的期望小，风险高
8．（22-23高二下·山东济宁·期末）已知甲袋中装有个红球，个白球，乙袋中装有3个红球，4个白球，先从甲袋中任取1球放入乙袋中，再从乙袋中任取出1球，若取出的是红球的概率为，则从甲袋中任取一个球，取出的是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
9．（22-23高二下·山东泰安·期末）已知随机变量X的分布列如表（其中为常数），则下列计算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（22-23高二下·山东淄博·期末）某市高二年级进行了一次教学质量检测，考生共2万人，经统计分析数学成绩服从正态分布，其平均分为85分，60分以下的人数约，则数学成绩在85分至110分之间的考生人数约为（ ）
A．3000B．5000C．7000D．14000
11．（22-23高二下·山东枣庄·期末）已知事件A，B满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·山东青岛·一模）某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（ ）
A．0.34B．0.37C．0.42D．0.43
二、多选题
13．（2023高二下·山东·期末）某中学在学校艺术节举行“三独”比赛（独唱独奏独舞），由于疫情防控原因，比赛现场只有9名教师评委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取10分制．某选手比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如下表．对学生网络评分按分成三组，其频率分布直方图如图所示．
则下列说法正确的是（ ）
A．现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同
B．估计全校有1200名学生的网络评分在区间内
C．在去掉最高分和最低分之前9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7
D．从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，则
14．（22-23高二下·山东聊城·期末）若、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
15．（22-23高二下·山东泰安·期末）下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量Y的方差，则
B．已知随机变量X服从二项分布，若，则
C．若随机变量服从正态分布，，则
D．若事件A与B相互独立，且，，则
16．（22-23高二下·山东淄博·期末）事件A，B的概率分别为：，，则（ ）
A．若A，B为互斥事件，
B．
C．若A，B相互独立，
D．若，则A，B相互独立
17．（22-23高二下·山东枣庄·期末）随机变量，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．随机变量X的密度曲线比随机变量Y的密度曲线更“瘦高”
C．
D．
18．（22-23高二下·山东滨州·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若离散型随机变量满足，则
D．对于任意一个离散型随机变量，都有
三、填空题
19．（22-23高二下·山东·期末）若，且，则 .
20．（22-23高二下·山东淄博·期末）随机变量X的分布列为：
则 ．
四、解答题
21．（22-23高二下·山东威海·期末）根据《国家学生体质健康标准》，六年级男生和女生一分钟跳绳等级如下（单位：次）.
从某学校六年级男生和女生中各随机抽取名进行一分钟跳绳测试，将他们的成绩整理如下：
(1)从这名男生中任取名，求取到的名男生成绩都优秀的概率；
(2)若以成绩优秀的频率代替成绩优秀的概率，且每名同学的测试相互独立.从该校全体六年级学生中随机抽取名男生和名女生，设为这名学生中一分钟跳绳成绩优秀的人数，求的概率分布与期望.
22．（22-23高二下·山东威海·期末）在信道内传输，信号，信号的传输相互独立.发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送次，三次传输是指每个信号重复发送次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为）.
(1)当，时，
（ⅰ）采用单次传输方案，若依次发送，，，求依次收到，，的概率；
（ⅱ）采用三次传输方案，若发送，求译码为的概率；
(2)若发送，采用三次传输方案译码为的概率大于采用单次传输方案译码为的概率，求的取值范围.
23．（22-23高二下·山东聊城·期末）甲、乙两位同学进行乒乓球打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用三球换发制，即每比赛三球交换发球权．假设甲发球时甲得分的概率是，乙发球时甲得分的概率是，各球的结果相互独立．根据抽签结果决定，甲先发球．
(1)用表示比赛三球后甲的得分，求的分布列和均值；
(2)求比赛六球后甲比乙的得分多的概率．
24．（22-23高二下·山东菏泽·期末）已知随机变量的分布列为：
(1)若，求、的值；
(2)记事件：；事件：为偶数.已知，求，的值.
25．（22-23高二下·山东济宁·期末）甲乙两名同学玩“猜硬币，向前进”的游戏，规则是：每一局抛一次硬币，甲乙双方各猜一个结果，要求双方猜的结果不能相同，猜对的一方前进2步，猜错的一方后退1步，游戏共进行局，规定游戏开始时甲乙初始位置一样．
(1)当时，设游戏结束时甲与乙的步数差为，求随机变量的分布列；
(2)游戏结束时，设甲与乙的步数差为，求，（结果用表示）．
26．（22-23高二下·山东·期末）某校为增强学生保护生态环境的意识，举行了以“要像保护眼睛一样保护自然和生态环境”为主题的知识竞赛．比赛分为三轮，每轮先朗诵一段爱护环境的知识，再答道试题，每答错一道题，用时额外加秒，最终规定用时最少者获胜．已知甲、乙两人参加比赛，甲每道试题答对的概率均为，乙每道试题答对的概率均为，甲每轮朗诵的时间均比乙少秒，假设甲、乙两人答题用时相同，且每道试题是否答对互不影响．
(1)若甲、乙两人在第一轮和第二轮答对的试题的总数量相等，求最终乙获胜的概率；
(2)请用统计学的知识解释甲和乙谁获胜的可能性更大．
27．（22-23高二下·山东枣庄·期末）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动．每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分．假定选手甲正确回答每一道题的概率均为．
(1)甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数记为，求的分布列；
(2)若，记为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求．
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
…
…
…
…
X
0
1
…
k
…
n
P
Ceq \\al(0,n)p0qn
Ceq \\al(1,n)p1qn－1
…
Ceq \\al(k,n)pkqn－k
…
Ceq \\al(n,n)pnq0
X
0
1
…
m
P
eq \f(C\\al(0,M)C\\al(n－0,N－M),C\\al(n,N))
eq \f(C\\al(1,M)C\\al(n－1,N－M),C\\al(n,N))
…
eq \f(C\\al(m,M)C\\al(n－m,N－M),C\\al(n,N))
收益/亿元
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益/亿元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3
X
0
1
2
3
P
0.2
0.3
0.4
a
教师评委
A
B
C
D
E
F
G
有效评分
9.6
9.1
9.4
8.9
9.2
9.3
9.5
X
1
2
3
P
一分钟跳绳等级
六年级男生
六年级女生
优秀
及以上
及以上
良好
及格
不及格
及以下
及以下
男生/次
女生/次
5
6
7
8
9
0.1
0.2
0.3