专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型-2023-2024学年七年级数学下册常见几何模型（苏科版）

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拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。
模型2：铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
例1．（2023·江苏南通·校考二模）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．80° B．120° C．100° D．140°
例 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
例3．（2023下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ）
A．2β＝3αB．β＝2αC．2β＝5αD．β＝3α
例4．（2023下·广西南宁·七年级校考期末）如图，如果，那么（ ）

A．B．C．D．
例5．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，， ， ，已知，则的度数为 ．

例6．（2023下·江苏南通·七年级统考期末）如图，直线，点E，F分别是直线上的两点，点P在直线和之间，连接和的平分线交于点Q，下列等式正确的是（ ）

A．B．C． D．
例7．（2023下·江苏南京·七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．

(1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：．
(2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______．
(3)如图3，，则______．
例8．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图中②，都有，，设镜子与的夹角．
(1)如图①，若，判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由．
(2)如图②，若，入射光线与反射光线的夹角，探索与的数量关系，并说明理由．(3)如图③，若，设镜子与的夹角，入射光线与镜面的夹角，已知入射光线从镜面开始反射，经过为正整数，且次反射，当第次反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数可用含有的代数式表示．

例9．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）已知直线，点P在直线之间，连接．
(1)如图1，若，直接写出的大小；
(2)如图2，点Q在之间，，试探究和的数量关系，并说明理由；(3)如图3，的角平分线交CD于点M，且，点N在直线之间，连接，，直接写出的值（用含n的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）．
课后专项训练
1．（2023下·江苏苏州·七年级校考期中）如图，在五边形中，，则（ ）

A．B．C．D．
2．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，一束光线先后经平面镜，反射后，当时，的度数为（ ）

A．55°B．70°C．60°D．35°
3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，直线，，则（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
4．（2023下·河北邯郸·七年级校联考阶段练习）如图，将直线m按箭头所指方向平移至直线n，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·安徽安庆·八年级统考期中）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则（ ）

A．B．C．D．
6．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
7．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）如图，已知：，则 （ ）

A．B．C．D．
8．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，在五边形中，,，则的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
9．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知， 则 ．

10．（2022上·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，已知，平分，平分，，，则的度数为 ．（用含n的式子表示）
11．（2023下·吉林·七年级统考阶段练习）如图，，平分，若，，则 ．

12．（2023下·江苏镇江·七年级统考期末）如图是某小区大门的道闸栏杆示意图，立柱垂直于地面于点A，当栏杆达到最高高度时，横栏，此时则， ．

13．（2023上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为 ．

14．（2023下·贵州安顺·七年级校考阶段练习）如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n = °．
15．（2023下·湖北襄阳·七年级统考期中）如图，，平分，平分，若，则 度．
16．（2023下·江西南昌·七年级南昌二中校考期中）如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有 ．（填序号）
17．（2023下·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=140，∠C=165．
（1）求∠B的度数；（2）当∠D= °时，AB∥DE？为什么？
18．（2023下·江苏南京·七年级校联考期末）珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯A，B．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．(1)填空： °；(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点C，过C作交PQ于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由．

19．（2023下·七年级课时练习）已知．

(1)如图①，点C是夹在和之间的一点，当时，垂足为C，你知道是多少度吗？
(2)如图②，点，是夹在和之间的两点，请想一想：的度数为 ；
(3)如图③，随着与之间点的增加，那么的度数为 ．（不必说明理由）
20．（2023下·江苏·七年级专题练习）已知，连接A，C两点．
(1)如图1，与的平分线交于点E，则等于 度；
(2)如图2，点M在射线反向延长线上，点N在射线上．与的平分线交于点E．若，求的度数；
(3)如图3，图4，M，N分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点E．设，请直接写出图中的度数（用含α，β的式子表示）．
21．（2022下·江苏常州·七年级统考期中）问题情境：如图①，直线，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若，，试猜想______°；
(2)探究：在图①中探究，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若，，求的度数．
22．（2023下·安徽滁州·七年级统考期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是________________．
利用上面的发现，解决下列问题：（1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数；（2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是________．

23．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期末）已知：，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，且．
(1)如图1，若，求的度数．(2)如图2，射线平分，连接，若，与相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由．(3)如图3，在内，，在内，，点M、N分别为射线、上的动点，且点M、N在直线、之间，其中，，若，求n的取值范围．

24．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中三边与两条平行线分别交于点、、、．

(1)【特例探究】如图1，．①______度；
②若与的角平分线相交于点，则______度；
(2)【一般探索】如图2，，．
①若，，求与的关系；
②若，（且为整数），直接写出与的关系；
(3)【拓展应用】如图3，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，则的值是多少？（直接写出结果）