第7章《平面图形的认识（二）》-2023-2024学年苏科版数学七年级下册期末复习讲义（导图+知识点+新题速递拔高卷）

这是一份第7章《平面图形的认识（二）》-2023-2024学年苏科版数学七年级下册期末复习讲义（导图+知识点+新题速递拔高卷），文件包含第7章平面图形的认识二教师版docx、第7章平面图形的认识二学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。

1. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；
2. 了解图形平移的概念及性质；
3. 熟练掌握三角形的三边关系及内角和定理，并能灵活应用；
4. 掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
知识点01：平行线的判定与性质
【高频考点精讲】
1．平行线的判定
判定方法1：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：内错角相等，两直线平行．
判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：
（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.
（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.
（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.
2．平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.
【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：
（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．
（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．
知识点02：图形的平移
【高频考点精讲】
1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．
【易错点剖析】决定平移的两个要素：（1）平移的方向；（2）平移的距离．
2.平移的性质：
(1)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置．
（2）图形平移后，对应点的连线平行或在同一直线上且相等．
(3)图形经过平移，对应线段互相平行或在同一条直线上且相等，对应角相等．
知识点03：认识三角形
【高频考点精讲】

三角形的分类





（1）按角分：



三角形
2.三角形的三边关系
三角形的任意两边之和大于第三边; 三角形任意两边之差小于第三边.
【易错点剖析】
（1）判断给定三条线段能否构成一个三角形：看较小两边的和是否大于最长边.
（2）已知三角形的两边长,确定第三边的范围：两边之差的绝对值＜第三边＜两边之和.
3.三角形的三条主要线段
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的三条中线交于三角形内部一点，叫做三角形的重心.
（2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线交于三角形内一点，叫做三角形的内心.
（3）在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高，三角形的三条高交于一点，叫做三角形的垂心.
4.三角形的角
（1）三角形的内角和为180°.
(2) 三角形的一边与他的邻边的延长线组成的角叫做三角形的外角.
【易错点剖析】
（1）直角三角形的两个锐角互余；
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角和；
（3）三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.
知识点04：多边形的内角和与外角和
【高频考点精讲】
1. 多边形的内角和：边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
【易错点剖析】(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于.
2. 多边形的外角和：任意多边形的外角和都为360°.
【易错点剖析】多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2024•邵阳模拟）如图，直线l1∥l2，分别与直线l交于点A，B，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．130°B．100°C．90°D．70°
解：如图，
∵直线l1∥l2，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝50°，
∴∠3＝50°，
由题意知∠4＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
故选：B．
2．（2分）（2023秋•成华区期末）如图，直线AB∥CD，∠ABE＝45°，∠E＝20°，则∠D的度数为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BCD＝45°，
∴∠DCE＝135°，
由三角形的内角和可得∠D＝180°﹣135°﹣20°＝25°．
故选：B．
3．（2分）（2023秋•东城区期末）一个多边形的内角和等于外角和的两倍，那么这个多边形是（ ）
A．三边形B．四边形C．五边形D．六边形
解：设这个多边形的边数为n，
由题意得：（n﹣2）•180°＝360°×2，
n﹣2＝4，
n＝6，
故选：D．
4．（2分）（2023秋•东莞市校级期末）为估计池塘两岸A、B间的距离，晓聪在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离可能是（ ）
A．2mB．30mC．28mD．20m
解：根据三角形的三边关系定理可得：16﹣12＜AB＜16+12，
即4＜AB＜28，
故选：D．
5．（2分）（2023秋•桐乡市期末）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝14 米，PB＝9米，那么A，B间的距离不可能是（ ）
A．6米B．8.7米C．27米D．18米
解：由三角形三边关系定理得：14﹣9＜AB＜14+9，
5＜AB＜23，
∴A，B间的距离不可能是27米．
故选：C．
6．（2分）（2023秋•射洪市期末）如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠3+∠5＝180°D．∠2＝∠3
解：A、∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠5，
因为”同旁内角互补，两直线平行“，
所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意；
B、∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
C、∵∠3+∠5＝180°，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠1＝∠5，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意．
故选：A．
7．（2分）（2023秋•太康县期末）如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AC∥BD的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠CD．∠C+∠BDC＝180°
解：A．∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1＝∠2，所以应是AC∥BD，所以A选项不符合题意．
B．∵∠3＝∠4，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），不能判定BD∥AC，所以B选项符合题意．
C．∵∠5＝∠C，∴BD∥AC （同位角相等，两直线平行），所以C选项不合题意．
D．∵∠C+∠BDC＝180°，∴BD∥AC（同旁内角互补，两直线平行），所以D选项不合题意．
故选：B．
8．（2分）（2023秋•钟祥市校级期中）如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）
A．变大B．变小C．等于55°D．等于35°
解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，
∴∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠MNO，
根据外角的定义：
∠AMN＝∠AOB+∠MNO，
∴∠EMN＝∠AOB+∠MNO，
∵∠AOB＝70°，
∴∠EMN＝×70°+∠MNF＝35°+∠MNF，
根据外角的定义：∠EMN＝∠F+∠MNF，
∴∠F＝35°，
故选：D．
9．（2分）（2023春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C，正确的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：设BD交FH于点J．
①∵BD⊥FD，
∴∠FJD+∠F＝90°
∵FH⊥BE，
∴∠BJG+∠DBE＝90°，
∵∠FJD＝∠BJG，
∴∠DBE＝∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∠BEF＝∠CBE+∠C，
∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，
∠BAF＝∠ABC+∠C，
∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD＝90°﹣∠BAC，
∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，
∵∠CBD＝90°﹣∠C，
∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
由①得，∠DBE＝∠F，
∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，
∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；
③正确；
④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD＝∠FEB，
∴∠BGH＝∠ABE+∠C，
④正确，
故选：D．
10．（2分）（2023秋•兰州期末）如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论：
①∠D＝40°；
②2∠D+∠EHC＝90°；
③FD平分∠HFB；
④FH平分∠GFD．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：延长FG，交CH于I．
∵AB∥CD，
∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，
∵FD∥EH，
∴∠EHC＝∠D，
∵FE平分∠AFG，
∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，
∴3∠EHC＝90°，
∴∠EHC＝30°，
∴∠D＝30°，
∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，
∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确，
∵FE平分∠AFG，
∴∠AFI＝30°×2＝60°，
∵∠BFD＝30°，
∴∠GFD＝90°，
∴∠GFH+∠HFD＝90°，
可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可，
∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•旌阳区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AB于点E，若∠B＝50°，∠ACE＝20°，则∠ADC的度数是 85° ．
解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝40°，
∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝40°+20°＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝70°．
∵AD平分∠BAC，
∴．
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝85°．
故答案为：85°．
12．（2分）（2023秋•鹰潭期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝30°，∠BDC＝50°，则∠BDE的度数是 20° ．
解：∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝20°．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABD＝20°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE＝∠DBC＝20°．
故答案为：20°．
13．（2分）（2023秋•汉中期末）如图，BE，CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，BE，CF相交于点D，则∠CDE的度数是 70° ．
解：∵BE，CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，∠ACB＝80°，
∴，，
∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝70°．
故答案为：70°．
14．（2分）（2023秋•石嘴山校级期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠CPD的度数是 65° ．
解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝310°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣310°＝230°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点P，
∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝115°，
∴∠CPD＝180°﹣115°＝65°．
故答案为：65°．
15．（2分）（2023秋•钟祥市校级期中）一张△ABC纸片，点M、N分别是AB、AC上的点，若沿直线MN折叠后，点A落在AC边的下面A′的位置，如图所示，则∠1，∠2，∠A之间的数量关系式是 ∠1＝2∠A+∠2 ．
解：如图，
由折叠得：∠A＝∠A′，
∵∠1是△MDA的外角，
∴∠1＝∠A+∠MDA，
同理：∠MDA＝∠2+∠A′，
∴∠1＝∠A+∠2+∠A′，
即：∠1＝2∠A+∠2，
故答案为：∠1＝2∠A+∠2．
16．（2分）（2023秋•湛江期末）如图所示，∠CAB的外角等于120°，∠B等于40°，则∠C的度数是 80° ．
解：∵∠CAB的外角＝∠B+∠C，且∠CAB的外角等于120°，∠B等于40°，
∴∠C＝80°，
故答案为：80°．
17．（2分）（2023秋•丹东期末）如图，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A＝ 30° ．
解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
即∠ACD+∠ECD＝∠ABC+∠CBD+∠A，
∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，
∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD）
∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°
∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°
∴∠A＝2×15°＝30°．
故答案为：30°．
18．（2分）（2023秋•吉林期末）如图，直角三角形的两条直角边AC，BC分别经过正九边形的两个顶点，则图中∠1+∠2的结果是 190° ．
解：如图，
（9﹣2）×180°÷9×2
＝7×180°÷9×2
＝280°，
∠3+∠4＝180°﹣90°＝90°，
∠1+∠2＝280°﹣90°＝190°．
故答案为：190°．
19．（2分）（2022秋•济阳区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→C→E运动．若设点P运动的时间是t s，那么当t＝ 2或 s时，△APE的面积等于8．
解：∵BC＝8cm，点E是BC的中点，
∴CE＝BC＝4cm，
当点P在线段AC上，如图1所示，AP＝2t，
∵∠C＝90°，
∴S△APE＝AP•CE＝×2t×4＝4t＝8，
解得：t＝2；
当点P在线段CE上，如图2所示，AC＝6cm，PE＝10﹣2t，
∴S△APE＝PE•AC＝×（10﹣2t）×6＝8，
解得：t＝．
故答案为：2或．
20．（2分）（2023春•慈溪市期中）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣4|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动 或36 秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
解：∵|a−4|+（b−1）2＝0，
∴a＝4，b＝1，
设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×4＝72°，
分两种情况：
①当M″到达MN前，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝4t°，
∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，
∴∠MAB＝135°，
∴∠M'AB＝135°﹣72°＝63°，
∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝4t°﹣63°，
当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，
此时，45°﹣t°＝4t°﹣63°，
解得t＝；
②当M″到达MN后，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝4t°﹣（180﹣72）°＝4t°﹣108°，∠BAM″＝45°﹣（4t°﹣108°）＝153°﹣4t°，
∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，
∴∠ABQ'＝45°﹣t°，，
当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，
此时，45°﹣t°＝153°﹣4t°，
解得t＝36；
综上所述，射线AM再转动或36秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
故答案为：或36．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•德化县期末）如图，若∠DAE＝∠E，∠B＝∠D，那么AB∥DC吗？请在下面的解答过程中填空或在括号内填写理由．
解：理由如下：
∵∠DAE＝∠E（已知），
∴ AD ∥ BE （ 内错角相等，两直线平行 ），
∴∠DCE＝ ∠D （ 两直线平行，内错角相等 ），
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠DCE＝ ∠B （ 等量代换 ），
∴AB∥DC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
解：∵∠DAE＝∠E（已知），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），
∴∠DCE＝∠D（两直线平行，内错角相等），
又∵∠B＝∠D（已知），
∴∠DCE＝∠B（等量代换），
∴AB∥DC（同位角相等，两直线平行），
故答案为：AD；BE；内错角相等，两直线平行；∠D；两直线平行，内错角相等；∠B；等量代换；同位角相等，两直线平行．
22．（6分）（2023秋•商河县期末）如图，在△ABC中，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若DE⊥AC，∠2＝140°，求∠AFG的度数．
解：（1）BF∥DE，理由如下：
∵∠AGF＝∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1＝∠CBF，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠CBF+∠2＝180°，
∴BF∥DE；
（2）∵BF∥DE，DE⊥AC，
∴BF⊥AC，
∵∠1+∠2＝180°，∠2＝140°，
∴∠1＝40°，
∴∠AFG＝90°﹣40°＝50°．
23．（8分）（2023秋•凤翔区期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
【观察猜想】（1）∠BCD与∠ACE的数量关系是 ∠BCD＝∠ACE ；∠BCE与∠ACD的数量关系是 ∠BCE+∠ACD＝180° ；
【类比探究】（2）若保持三角板ABC不动，绕直角顶点C顺时针转动三角板DCE，试探究当∠ACD等于多少度时CE∥AB，画出图形并简要说明理由；
【拓展应用】（3）若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度数；并直接写出此时DE与AC的位置关系．
解：（1）∵∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACE+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE；
∵∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°+∠ACE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°+∠ACE+∠ACD＝90°+90°＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°．故答案为：∠BCD＝∠ACE；∠BCE+∠ACD＝180°；
（2）分两种情况：
①如图1所示，当CE∥AB时，∠ACE＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠DCE﹣∠ACE＝90°﹣30°＝60°．
②如图2所示，当CE∥AB时，∠BCE＝∠B＝60°，
∴∠ACD＝360°﹣∠ACB﹣∠BCE﹣∠DCE＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°．
综上所述，当∠ACD等于60°或120°时，CE∥AB；
（3）设∠ACD＝α，则∠BCE＝3α．
由（1）可知，∠BCE+∠ACD＝180°，
∴3α+α＝180°，
∴α＝45°，即∠ACD＝45°，
此时DE⊥AC或DE∥AC．
24．（8分）（2023秋•鹰潭期末）生活现象
如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．
数学模型
如图2，是杆秤的示意图，AC∥BD，经测量发现∠A＝104°，∠BOE＝76°，请判断OE与BD的位置关系，并说明理由．
解：OE∥BD，理由如下：
∵AC∥BD，
∴∠A+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝180°﹣104°＝76°，
∴∠ABD＝∠BOE，
∴OE∥BD．
25．（8分）（2023秋•城阳区期末）【发现问题】
如图①，小明同学在做光的折射实验时发现：平行于主光轴MN的光线AB和CD经过凹透镜的折射后，折射光线BE，DF的反向延长线交于主光轴MN上一点P．
【提出问题】
小明提出：∠BPD，∠ABP和∠CDP三个角之间存在着怎样的数量关系？
【分析问题】
已知平行，可以利用平行线的性质，把∠BPD分成两部分进行研究．
【解决问题】
探究一：请你帮小明解决这个问题，并说明理由．
探究二：如图②，∠P，∠AMP，∠CNP的数量关系为 ∠BPD＝∠ABP+∠CDP ；如图③，已知∠ABC＝25°，∠C＝60°，AE∥CD，则∠BAE＝ 145 °（不需要写解答过程）
利用探究一得到的结论解决下列问题：
如图④，射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，ME交直线CD于点E，NF与∠AMP内部的一条射线MF交于点F，若∠P＝2∠F，求∠FME的度数．
解：探究一：∠BPD＝∠ABP+∠CDP，理由如下：
如图①，
∵AB∥MN∥CD，
∴∠BPN＝∠ABP，∠DPN＝∠CDP，
∴∠BPN+∠DPN＝∠ABP+∠CDP，
∴∠BPD＝∠ABP+∠CDP．
探究二：如图②，
∠AMP＝∠P+∠CNP，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠MKP＝∠CNP，
∵∠AMP＝∠P+∠MKP，
∴∠AMP＝∠P+∠CNP．
如图③，延长EA交BC于L，
∵AE∥CD，
∴∠ALC＝∠C＝60°，
∴∠ALB＝180°﹣∠ALC＝120°，
∴∠BAE＝∠B+∠ALB＝25°+120°＝145°．
故答案为：∠AMP＝∠P+∠CNP，145．
∵射线ME，NF分别平分∠BMP和∠CNP，
∴∠PME＝∠PMB，∠CNF＝∠PNF，
如图④，
由探究一的结论得：∠P＝∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF，∠F＝∠AMF+∠CNF，
∵∠P＝2∠F，
∴∠AMF+∠PMF+∠CNF+∠PNF＝2∠AMF+2∠CNF，
∵∠CNF＝∠PNF，
∴∠AMF+∠PMF＝2∠AMF，
∴∠PMF＝∠AMF＝∠AMP，
∴∠PMF+∠PME＝（∠AMP+∠PMB），
∴∠FME＝∠AMB＝×180°＝90°．
26．（8分）（2023秋•海口期末）将一副直角三角尺的直角顶点C按照如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），并能绕C点自由旋转．
（1）写出∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由；
（2）当0°＜∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，固定直角三角尺ACD，将直角三角尺ECB绕C点自由旋转．
①当EB∥AC时，∠ACE＝ 45°或135° °；
②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为 30°或150° °，请说明理由；
③直接写出分别使得CE∥AD，EB∥DC，EB∥AD的∠ACE的度数，在备用图中画出相应的草图，不必写出理由．
解：（1）∠ACB与∠DCE的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°，
∴∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE＝90°+∠DCB+90°﹣∠DCB＝180°；
（2）①当EB∥AC时，有以下两种情况：
（ⅰ）当BE在AC的上方时，如图1所示：
∵EB∥AC，∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
（ⅱ）当BE在AC下方时，如图2所示：
∵EB∥AC，∠B＝45°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝45°+90°＝135°，
综上所述：∠ACE＝45°或135°，
故答案为：45°或135°．
②要使CB∥AD，则∠ACE的度数为60°或150°，理由如下：
有以下两种情况：
（ⅰ）当CB在AC的上方时，如图3所示：
∵CB∥AD，∠D＝30°，
∴∠DCB＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠DCB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝90°﹣60°＝30°；
（ⅱ）当CB在AC的下方时，如图4所示：
∵CB∥AD，∠A＝60°，
∴∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝60°+90°＝150°，
综上所述：∠ACE的度数为30°或150°；
故答案为：60°或150°．
③当CE∥AD时，有以下两种情况：
（ⅰ）当CE在AC上方时，如图5所示：
∵CE∥AD，∠D＝30°，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+30°＝120°；
（ⅱ）当CE在AC下方时，如图6所示：
∵CE∥AD，∠A＝60°，
∴∠ACE＝∠A＝60°，
综上所述：当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；
当EB∥DC时，有以下两种情况：
（ⅰ）当BE在CD的左侧时，如图7所示：
∵EB∥DC，∠B＝45°，
∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
（ⅱ）当BE在CD的右侧时，如图8所示：
∵EB∥DC，∠E＝45°，
∴∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+45°＝135°，
综上所述：当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；
当EB∥AD时，有以下两种情况：
（ⅰ）当EB在AD的左侧时，如图9所示：
设BC与AD交于点T，
∵EB∥AD，∠B＝45°，
∴∠ATC＝∠B＝45°，
∴∠ACT＝180°﹣（∠ATC+∠A）＝180°﹣（45°+60°）＝75°，
∴∠ACE＝∠BCE﹣∠ACT＝90°﹣75°＝15°，
（ⅱ）当EB在AD的右侧时，如图10所示：
延长AC交EB于点H，
∵EB∥AD，∠A＝60°，
∴∠CHE＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ECH＝180°﹣（CHE+∠E）＝180°﹣（120°+45°）＝15°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠DCH＝90°，
∴∠DCE＝∠DCH﹣∠ECH＝90°﹣15°＝75°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°，
综上所述：当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°．
∴当CE∥AD时，∠ACE的度数为120°或60°；当EB∥DC时，∠ACE的度数为45°或135°；当EB∥AD时，∠ACE的度数为15°或165°．
27．（8分）（2023秋•大东区期末）如图，四边形BCED中，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF交BD于G，交CE于H，且∠1＝45°，∠2＝135°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
证明：（1）∵∠CHG+∠2＝180°，∠2＝135°，
∴∠CHG＝45°，
∵∠1＝45°，
∴∠CHG＝∠1，
∴BD∥CE．
（2）∵BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D．
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
28．（8分）（2023秋•潍城区期末）已知ABCD为四边形，点E为边AB延长线上一点．
【探究】：
（1）如图1，∠ADC＝110°，∠BCD＝120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ 35 °；
（2）如图2，∠ADC＝α，∠BCD＝β，且α+β＞180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠AFB＝ ；（用α，β表示）
（3）如图3，∠ADC＝α，∠BCD＝β，当∠DAB和∠CBE的平分线AG，BH平行时，α，β应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论；
【挑战】：
如果将（2）中的条件α+β＞180°改为α+β＜180°，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，若两平分线所在的直线交于点F，则∠AFB与α，β有怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．
解：（1）如图1．
∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，
∴∠FBE＝∠CBE，∠FAB＝∠DAB．
∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB
＝360°﹣120°﹣110°＝130°．
又∵∠F+∠FAB＝∠FBE，
∴∠F＝∠FBE﹣∠FAB＝
＝
＝（180°﹣130°）
＝25°；
（2）如图2．
由（1）得：∠AFB＝，∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣∠DCB．
∴∠AFB＝＝．
（3）若AG∥BH，则α+β＝180°．
证明：如图3．
若AG∥BH，则∠GAB＝∠HBE．
∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，
∴∠DAB＝2∠GAB，∠CBE＝2∠HBE．
∴∠DAB＝∠CBE．
∴AD∥BC．
∴∠DAB+∠DCB＝α+β＝180°．
挑战：如图4．
∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，
∴∠BAM＝，．
∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣∠D﹣BCD＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB+180°﹣∠CBE＝360°﹣α﹣β．
∴∠DAB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣β．
∵∠ABF与∠NBE是对顶角，
∴∠ABF＝∠NBE．
又∵∠F+∠ABF＝∠MAB，
∴∠F＝∠MAB﹣∠ABF．
∴∠F＝
＝
＝90°﹣