第9章《整式乘法与因式分解》-2023-2024学年苏科版数学七年级下册期末复习讲义（导图+知识点+新题速递拔高卷）

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1. 掌握整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.
知识点01：幂的运算
【高频考点精讲】
1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
6.负指数幂：(，为正整数).任何不等于0的数的－次幂，等于这个数的次幂的倒数.
【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
知识点02：整式的乘法
【高频考点精讲】
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
知识点03：乘法公式
【高频考点精讲】
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
知识点04：因式分解
【高频考点精讲】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
【易错点剖析】落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.54
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•长沙期末）下列计算结果正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．2a6÷a2＝2a3
C．2a2•3a3＝6a6D．（3a3）2＝9a6
解：A、a与a2不能合并，故A不符合题意；
B、2a6÷a2＝2a4，故B不符合题意；
C、2a2•3a3＝6a5，故C不符合题意；
D、（3a3）2＝9a6，故D符合题意；
故选：D．
2．（2分）（2023秋•惠安县期末）已知（2023+x）（2024+x）＝25，则（2023+x）2+（2024+x）2的值为（ ）
A．49B．51C．55D．65
解：∵（2023+x）（2024+x）＝25，
∴（2023+x）2+（2024+x）2
＝[（2023+x）﹣（2024+x）]2+2（2023+x）（2024+x）
＝（2023+x﹣2024﹣x）2+2（2023+x）（2024+x）
＝（﹣1）2+2×25
＝1+50
＝51．
故选：B．
3．（2分）（2023秋•晋江市期末）若等式（3x+1）（2x﹣1）＝6x2+px﹣1成立，则p的值是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣1D．1
解：（3x+1）（2x﹣1）
＝6x2﹣3x+2x﹣1
＝6x2﹣x﹣1，
∵（3x+1）（2x﹣1）＝6x2+px﹣1，
∴p＝﹣1，
故选：C．
4．（2分）（2023秋•惠安县期末）若x2+mxy+25y2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．±10B．﹣5C．5D．±5
解：∵x2+mxy+25y2是一个完全平方式，
∴mxy＝±2•x•5y，
解得m＝±10．
故选：A．
5．（2分）（2023秋•偃师区期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为2（a+b），则宽为（ ）
A．B．1C．D．a+b
解：左边场地面积＝a2+b2+2ab，
∵左边场地的面积与右边场地的面积相等，
∴宽＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）＝，
故选：C．
6．（2分）（2024•邵阳模拟）下列运算正确的是（ ）
A．3a+a2＝3a3B．（﹣3a3）2＝6a6
C．a2⋅a3＝a5D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
解：∵3a与a2不是同类项，不能合并，
∴A不正确，不符合题意；
∵（﹣3a3）2＝（﹣3）2a3×2＝9a6，
∴B不正确，不符合题意；
∵a2⋅a3＝a2+3＝a5，
∴C正确符合题意；
∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴D不正确，不符合题意；
故选：C．
7．（2分）（2023秋•南安市期末）要使（x+m）（x﹣1）的结果不含x的一次项，则m的值等于（ ）
A．1B．0C．﹣1D．﹣2
解：（x+m）（x﹣1）
＝x2﹣x+mx﹣m
＝x2+（m﹣1）x﹣m，
∵（x+m）（x﹣1）的结果不含x的一次项，
∴m﹣1＝0，
m＝1，
故选：A．
8．（2分）（2023秋•邻水县期末）如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的，面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
解：设大、小正方形边长为a、b，
则有a2＝15，阴影部分面积为：，
即a2﹣b2＝12，
可得b2＝3，
即所求面积是3．
故选：A．
9．（2分）（2023秋•滨海新区校级期末）已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，
∴a﹣b＝﹣1，c﹣b＝1，c﹣a＝2，
∴2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）
＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac
＝（a﹣b）2+（c﹣b）2+（c﹣a）2
＝1+1+4
＝6，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝3；
故选：D．
10．（2分）（2023春•市中区校级期中）如果m2﹣2m﹣3＝0，那么代数式（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2的值为（ ）
A．0B．﹣1C．1D．3
解：（m+3）（m﹣3）+（m﹣2）2
＝m2﹣9+m2﹣4m+4
＝2m2﹣4m﹣5，
∵m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
当m2﹣2m＝3时，原式＝2（m2﹣2m）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•江汉区期末）已知a2+a＝1，则（3+a）（2﹣a）＝ 5 ．
解：（3+a）（2﹣a）
＝6﹣3a+2a﹣a2
＝6﹣a﹣a2，
∵a2+a＝1，
∴原式＝6﹣（a2+a）＝6﹣1＝5．
故答案为：5．
12．（2分）（2023秋•龙山区期末）已知a2+b2＝13，ab＝6，则a+b的值是 ±5 ．
解：∵a2+b2＝13，ab＝6，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
＝13+12，
＝25，
∴a+b＝±5．
13．（2分）（2023秋•双辽市期末）如图，长方形ABCD的周长为12，分别以BC和CD为边向外作两个正方形，且这两个正方形的面积和为20，则长方形ABCD的面积是 8 ．
解：设长方形的长为x，宽为y，由题意得：
，
∴x+y＝6，
∴（x+y）2＝36，
∴x2+2xy+y2＝36
∴2xy＝36﹣（x2+y2）＝16，
∴xy＝8，
∴长方形ABCD的面积是8，
故答案为：8．
14．（2分）（2023秋•浦东新区期末）如果二次三项式x2+mx+16是一个完全平方式，那么常数m的值是 ±8 ．
解：∵二次三项式x2+mx+16是一个完全平方式，
∴x2+mx+16＝x2±2•x•4+42，
即mx＝±2•x•4，
解得：m＝±8，
故答案为：±8．
15．（2分）（2023秋•瑶海区期末）给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式（x+3）2＝ax2+bx+c，当x＝0时，可得32＝c，计算得c＝9；请你再给工赋不同的值，可计算得4a+2b＝ 16 ．
解：当x＝2时，可得（2+3）2＝a×22+b×2+c，
化简得4a+2b+c＝25，
∵c＝9，
∴4a+2b＝16，
故答案为：16．
16．（2分）（2023秋•南宁期末）某农户租两块土地种植沃柑．第一块是边长为a m的正方形，第二块是长为（a+10）m，宽为（a+5）m的长方形，则第二块比第一块的面积多了 （15a+50） m2．
解：由题意得：（a+10）（a+5）﹣a2
＝a2+5a+10a+50﹣a2
＝a2﹣a2+5a+10a+50
＝（15a+50）m2，
∴第二块比第一块的面积多了（15a+50）m2，
故答案为：（15a+50）．
17．（2分）（2023秋•浦东新区期末）若|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，则x2+y2＝ 10 ．
解：∵|x+y﹣4|+（xy﹣3）2＝0，
∴x+y﹣4＝0，xy﹣3＝0，即x+y＝4，xy＝3，
则x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝10．
故答案为：10．
18．（2分）（2023秋•双辽市期末）一个正方形的边长增加了3cm，面积相应增加了39cm2，则原来这个正方形的边长为 5 cm．
解：设原来正方形的边长是xcm．根据题意得：
（x+3）2﹣x2＝39，
∴（x+3+x）（x+3﹣x）＝3（2x+3）＝39，
解得x＝5．
19．（2分）（2023秋•兴文县期中）若规定符号的意义是：＝ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为 9 ．
解：由题意可得，
＝m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）
＝m3﹣7m+3，
∵m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2＝2m+3，m2﹣2m＝3
∴m3﹣7m+3
＝m（m2）﹣7m+3
＝m（2m+3）﹣7m+3
＝2m2﹣4m+3
＝2（m2﹣2m）+3
＝2×3+3
＝9，
所以当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．
故答案为：9．
20．（2分）（2022秋•济宁期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是 104020（答案不唯一） （写出一个即可）．
解：9x3﹣xy2＝x（9x2﹣y2）＝x（3x+y）（3x﹣y），
当x＝10，y＝10时，密码可以是104020或102040等等都可以，答案不唯一．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•东莞市期末）计算：（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）．
解：原式＝x2﹣4x+4﹣（x2﹣4）
＝x2﹣4x+4﹣x2+4
＝﹣4x+8．
22．（6分）（2023秋•番禺区期末）分解因式：
（1）3a2﹣6ab+3b2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）．
解：（1）3a2﹣6ab+3b2
＝3（a2﹣2ab+b2）
＝3（a﹣b）2；
（2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）
＝（m﹣2）（x2﹣y2）
＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）．
23．（8分）（2023秋•龙山区期末）两个边长分别为a和b的正方形（a＜b＜a），如图1所示放置，其未重合部分（阴影）的面积为S1，若在图1的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝64时，求出图3中阴影部分的面积S3．
解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝2b2﹣ab；
（2）∵S1+S2
＝a2﹣b2+2b2﹣ab
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab，
∴当a+b＝15，ab＝5时，
S1+S2＝225﹣3×5＝210；
（3）由图可得，
S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2
＝（a2+b2﹣ab）
＝（S1+S2），
∴当S1+S2＝64时，
S3＝（S1+S2）＝×64＝32．
24．（8分）（2023秋•绥阳县期末）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．
（1）利用配方法分解因式：x2﹣6x﹣27；
（2）当x为何值时，多项式x2+6x﹣9有最小值，并求出这个最小值；
（3）已知正数a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，求a+b+c．
解：（1）x2﹣6x﹣27
＝（x2﹣6x+9）﹣36
＝（x﹣3）2﹣36
＝（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）
＝（x+3）（x﹣9）；
（2）x2+6x﹣9
＝（x2+6x+9）﹣18
＝（x+3）2﹣18≥﹣18，
此时x+3＝0，即x＝﹣3，
那么当x＝﹣3时，多项式x2+6x﹣9有最小值，最小值为﹣18；
（3）a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，
则a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴a+b+c＝3+4+5＝12．
25．（8分）（2023秋•碑林区校级期末）探究与实践
问题发现：
（1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形ABCD，由此可以得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab的等量关系是 （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ；
问题探究：
（2）如图②，将边长为a的正方形APCD和边长为b正方形BPEF拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在PC上，连接AE，若AB＝8，△APE的面积为7.5，求CE的长度；
问题解决：
（3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中BE、CF为两条互相垂直的道路，且BG＝CG，EG＝FG，四边形ABGF与四边形CDEG为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路BE的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计）
解：（1）根据题意得：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（2）设AP＝m，BP＝n，
∴AB＝AP+BP＝m+n＝8，
∵△APE面积为7.5，
∴mn＝7.5，即mn＝15，
∵（m+m）2＝（m﹣n）2+4mn，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4ab＝64﹣60＝4，
∴m﹣n＝2（负值舍去），
则CE＝PC﹣PE＝m﹣n＝2；
（3）该物业筹集的资金不够用，说明如下：
设BG＝CG＝s m，EG＝FG＝t m，
由题意得：BE＝BG+EG＝s+t＝80（m），
两个三角形区域的面积之和为BG•CG+FG•EG＝（s2+t2）（m2），
∴一共需要的资金为100（s2+t2）+30•2st＝（50s2+50t2+60st）元，
∵s+t＝80，
∴s2+t2＝（s+t）2﹣2st＝6400﹣2st，
∴50s2+50t2+60st＝50（6400﹣2st）+60st＝（320000﹣40st）元，
∵（s﹣t）2≥0，
∴（s+t）2﹣4st≥0，即st≤＝1600，
∴40st≤64000，即320000﹣40st≥256000＞250000，
∴该物业筹集的资金不够用．
26．（8分）（2023秋•湖里区期末）有五组整式①x2+x，x2+2，x﹣2；②x2+x﹣5，x2+x﹣8，3；③2x2+4x﹣3，2x2+1，4x﹣4；④3x2+x+7，3x2﹣4x+6，5x+1；⑤x2﹣x+1，x2﹣x﹣2，﹣2x+3．这五组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的一个整式组称为“平移整式组”．
（1）若某个“平移整式组”中的第一个整式为4x2+3x﹣2，第二个整式为ax2+2（a≠0）．
①直接写出a的值： 4 ；
②请求出该“平移整式组”中的第三个整式；
（2）若a（x﹣5）2+b（a≠0），2x2﹣8x+8+c，（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8（m为常数）是一个“平移整式组”，求b﹣c的值．
解：（1）①根据“平移整式组”的定义得：a＝4；
故答案为：4；
②该“平移整式组”的三个整式分别为4x2+3x﹣2，第二个整式为4x2+2，第三个整式为3x﹣4；
（2）∵a（x﹣5）2+b（a≠0）＝ax2﹣10ax+25a+b，2x2﹣8x+8+c，（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8（m为常数）是一个“平移整式组”，
∴a＝2，﹣10ax+25a+b﹣（﹣8x+8+c）＝（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8，
整理得：（8﹣10a）x+（25a+b﹣c﹣8）＝（﹣2m﹣2）x+2（m﹣5）2﹣8，
∴8﹣10a＝﹣2m﹣2，25a+b﹣c﹣8＝2（m﹣5）2﹣8，
把a＝2代入得：﹣2m﹣2＝﹣12，
解得：m＝5，
∴50+b﹣c﹣8＝﹣8，
整理得：b﹣c＝﹣50．
27．（8分）（2023秋•沈丘县期末）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH的边长为b，长方形ABGE和EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成平方差的形式）
（2）将图1中的长方形ABGE和EFHD剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积是 （a+b）（a﹣b） （写成多项式相乘的形式）
（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．
（4）利用所得公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+．
解：（1）根据题意得：阴影部分面积为a2﹣b2；
（2）根据题意得：阴影部分面积为（a+b）（a﹣b）；
（3）可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（4）原式＝4（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）+
＝4（1﹣））（1+）（1+）（1+）+
＝4（1﹣）（1+）（1+）+
＝4（1﹣）（1+）+
＝4（1﹣）+
＝4﹣+
＝4．
故答案为：（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
28．（8分）（2023秋•东辽县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
①ax+by+bx+ay
＝（ax+bx）+（ay+by）
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；
（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
解：（1）a2﹣b2+a﹣b
＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+1）；
（2）a2+4ab﹣5b2＝（a+5b）（a﹣b）；
（3）x2﹣6x+1
＝x2﹣6x+9﹣8
＝（x﹣3）2﹣8
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2﹣8≥﹣8，
∴当x＝3时，取最小值为﹣8