第11章《一元一次不等式》-2023-2024学年苏科版数学七年级下册期末复习讲义（导图+知识点+新题速递拔高卷）

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1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；
2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；
3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；
4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；
5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.
知识点01：不等式
【高频考点精讲】
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
【易错点剖析】
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
知识点02：一元一次不等式
【高频考点精讲】
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
【易错点剖析】ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
【易错点剖析】不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
【易错点剖析】列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.
知识点03：一元一次不等式组
【高频考点精讲】
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
【易错点剖析】
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•姑苏区期末）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．a﹣1＞b﹣1B．C．3a＞3bD．1﹣a＞1﹣b
解：A、∵a＞b，
∴a﹣1＞b﹣1，故正确，不合题意；
B、∵a＞b，
∴，故正确，不合题意；
C、∵a＞b，
∴3a＞3b，故正确，不合题意；
D、∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴1﹣a＜1﹣b，故错误，符合题意；
故选：D．
2．（2分）（2023秋•奉化区校级期中）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7B．6≤m＜7C．6≤m≤7D．6＜m≤7
解：由7﹣2x≤1得，x≥3，
∵x＜m，
故原不等式组的解集为：3≤x＜m，
∵不等式组的正整数解有4个，
∴其整数解应为：3、4、5、6，
∴m的取值范围是6＜m≤7．
故选：D．
3．（2分）（2023秋•永州期末）已知关于x的不等式整数解共有2个，若m为整数，则m＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：由x﹣m＜0，得：x＜m，
由5﹣2x≤1，得：x≥2，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的整数解为2、3，
∴3＜m≤4，
又∵m为整数，
∴m＝4，
故选：C．
4．（2分）（2022秋•新化县期末）方程组的解满足不等式x﹣y＜5，则a的范围是（ ）
A．a＜1B．a＞1C．a＜2D．a＞2
解：，
①+②，得
3x﹣3y＝3+6a，
化简，得
x﹣y＝1+2a，
∵x﹣y＜5，
∴1+2a＜5，
解得，a＜2，
故选：C．
5．（2分）（2022秋•新田县期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．7＜a＜8B．7≤a＜8C．7＜a≤8D．7≤a≤8
解：，
解不等式①，得：x＞4.5，
解不等式②，得：x＜a，
由题意可知，不等式组有解集，
∴该不等式组的解集是4.5＜x＜a，
∵不等式组恰有3个整数解，
∴这三个整数解是5，6，7，
∴7＜a≤8，
故选：C．
6．（2分）（2023秋•沙坪坝区校级期末）如果不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，则a必须满足的条件是（ ）
A．a＞0B．a＞5C．a≠5D．a＜5
解：∵不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，
∴a﹣5＜0，
∴a＜5，
故选：D．
7．（2分）（2023春•自贡期末）若关于x的不等式组有100个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1449＜a≤﹣1448B．﹣1449≤a＜﹣1448
C．﹣1450≤a＜﹣1449D．﹣1450＜a≤﹣1449
解：解不等式x﹣a≥2023，得：x≥2023+a，
解不等式2024﹣x＞2x﹣1，得：x＜675，
∵不等式组100个整数解，
∴574＜2023+a≤575，
∴﹣1449＜a≤﹣1448，
故选：A．
8．（2分）（2023春•那曲市期末）若关于x的一元一次不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A．k≤3B．k＜3C．k＜2D．k≤2
解：，
解①得x＜2，
解②得x＞k﹣1，
因为关于x的一元一次不等式组有解，
所以k﹣1＜2，
解得k＜3．
故选：B．
9．（2分）（2023春•吕梁期末）若关于x的方程的解为正数，且a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：由方程可得，x＝，
∵方程的解为正数，
∴＞0，
∴a＜，
由y+3＞1得y＞﹣2，
由3y﹣a＜1得y＜，
∵a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，
∴这两个整数解为﹣1，0，
∴0＜≤1，
解得﹣1＜a≤2，
由上可得﹣1＜a＜，
∴所有满足条件的整数a的值为0，1，
∵0+1＝1，
∴所有满足条件的整数a的值和为1，
故选：B．
10．（2分）（2023秋•姑苏区校级期末）如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为x≥1，则所有符合条件的整数a的和为（ ）
A．﹣5B．﹣8C．﹣9D．﹣12
解：，
解得：，
∵关于y的方程有非负整数解，
∴，
解得：a≥﹣5，且为整数，
关于x的不等式组整理得：
，
∵不等式组的解集为x≥1，
∴a+4≤1，
解得：a≤﹣3，
∴﹣5≤a≤﹣3且为整数，
∴a＝﹣5，﹣3，
于是符合条件的所有整数a的值之和为：﹣5﹣3＝﹣8．
故选：B．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•惠州期末）不等式组：的解集是 ．
解：，
解不等式①，得x，
解不等式②，得x＜2，
故不等式组的解集为．
故答案为：．
12．（2分）（2023春•集美区校级期中）若不等式（a﹣1）x＞1﹣a的解集是x＜﹣1，则a的取值范围是 a＜1 ．
解：两边同时除以（a﹣1）得，x＜﹣1，
可见，a﹣1＜0，
解得a＜1．
故答案为a＜1．
13．（2分）（2023秋•海曙区期中）不等式组的解集为x＞3，则k的取值范围为 k≤2 ．
解：由3x﹣9＞0得：x＞3，
由x＞k+1且不等式组的解集为x＞3，
知k+1≤3，
解得k≤2，
故答案为：k≤2．
14．（2分）（2023春•富锦市校级期末）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为﹣9，m的取值范围是 3≤m＜6或﹣6≤m＜﹣3 ．
解：解不等式3x+m＜0，得：x＜﹣，
∵x＞﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5＜x＜﹣，
∵不等式的所有整数解的和为﹣9，
∴不等式组的整数解为﹣4、﹣3、﹣2或﹣4、﹣3、﹣2，﹣1，0，1，
则﹣2＜﹣≤﹣1或1＜﹣≤2，
解得3≤m＜6或﹣6≤m＜﹣3，
故答案为：3≤m＜6或﹣6≤m＜﹣3．
15．（2分）（2023秋•新田县期末）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 2≤a＜3 ．
解：，
解①得：x＞a﹣2，
解②得：x≤3．
∵不等式组恰有3个整数解，
∴不等式组的整数解是：1，2，3．
∴0≤a﹣2＜1，
∴2≤a＜3．
故答案为：2≤a＜3．
16．（2分）（2023秋•鄞州区期中）若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是 a＜1 ．
解：∵不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，
∴a﹣1＜0，解得a＜1．
故答案为：a＜1．
17．（2分）（2023春•渝中区校级期末）关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于x的一次方程5x﹣a＝x+3有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ﹣2 ．
解：将一元一次不等式组整理得到：，
∵不等式组的解集为x≥3，
∴a﹣2＜3，
∴a＜5；
解关于x的一次方程5x﹣a＝x+3得x＝．
∵x有非负整数解，
∴≥0，
解得：a≥﹣3，
∴﹣3≤a＜5，
∴满足条件的整数a为：﹣3，1，
∴所有满足条件的整数a的和为：﹣3+1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
18．（2分）（2023春•重庆期中）若关于x的一元一次方程有正整数解，且使关于x的不等式组至少有4个整数解，求出满足条件的整数a的所有值的积为 15 ．
解：解不等式2x﹣a≥0，得x≥，
解不等式，得x＜8，
∵不等式组至少有4个整数解，
∴≤4，
解得a≤8，
解关于x的一元一次方程，得x＝，
∵方程有正整数解，
∴＞0，
则a＞0，
∴0＜a≤8，
其中能使为正整数的a值有1，3，5，其积为1×3×5＝15．
故答案为：15．
19．（2分）（2022春•渝中区校级月考）清明将至，前去扫墓的人逐渐增多．某花店购进白菊，白百合，马蹄莲共计m捆．白菊每捆20支，白百合每捆12支，马蹄莲每捆10支．现取出白菊的，白百合的，马蹄莲的，全部用于扎成A、B两款花束销售．其中A款花束白菊2支，白百合3支，马蹄莲1支，B款花束白菊5支，马蹄莲2支．如此取出后剩下的白百合支数不多于马蹄莲支数，则购进的白菊捆数与白百合捆数之比至少为 3：5 ．
解：设购进白菊有x捆，白百何有y捆，则马蹄莲有（m﹣x﹣y）捆，
∵白菊每捆20支，白百合每捆12支，马蹄莲每捆10支，
∴白菊有20x支，白百合有12y支，马蹄莲有10（m﹣x﹣y）支，
∵现取出白菊的，白百合的，马蹄莲的，全部用于扎成A、B两款花束销售，
∴取出的白菊有10x支，白百合有4y支，马蹄莲有（m﹣x﹣y）支，
设A款花束有a束，B款花束有b束，
根据A款花束白菊2支，白百合3支，马蹄莲1支，B款花束白菊5支，马蹄莲2支可列方程组得：
，
由②得：a＝ ④，
把④代入①得：b＝2x﹣y ⑤，
把④和⑤代入③得：m＝，
∵取出后剩下的白百合支数不多于马蹄莲支数，
∴12y﹣4y≤10（m﹣x﹣y）﹣（m﹣x﹣y），即8y≤（﹣x﹣y），
整理得：5x≥3y，
∴，
故答案为：3：5．
20．（2分）（2022春•梁园区期末）对于x，符号[x]表示不大于x的最大整数．如：[3.14]＝3，[﹣7.59]＝﹣8，则满足关系式的x的整数值有 3 个．
解：由题意得4≤＜5，
解得：7≤x＜，
其整数解为7、8、9共3个．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•桐乡市期末）解不等式，并把解在数轴上表示出来．
解：，
3（﹣3+x）≤2（2x﹣4），
﹣9+3x≤4x﹣8，
3x﹣4x≤9﹣8，
﹣x≤1，
x≥﹣1．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
22．（6分）（2023秋•钢城区期末）解不等式组：，并求出它的非负整数解．
解：由①得：x＜2，
由②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2，
则不等式组的非负整数解为0，1．
23．（8分）（2023秋•邵阳期末）已知关于x的不等式组；
（1）若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围；
（2）若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，求a的取值范围．
解：（1），
解不等式①，得：x＞2，
解不等式②，得：x＜7﹣a，
∴不等式组的解集为2＜x＜7﹣a，
又∵不等式组有且只有三个整数解，
∴5＜7﹣a≤6，
解得：1≤a＜2；
（2）由（1）可得，不等式组的解集为2＜x＜7﹣a，
∵不等式组有解，
∴7﹣a＞2，
解得：a＜5，
又∵它的解集中的任何一个值均不在x≥5的范围内，
∴7﹣a≤5，
解得：a≥2，
∴a的取值范围2≤a＜5．
24．（8分）（2023春•大竹县校级期末）我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜3＞＝4，＜﹣2.5＞＝﹣2．根据上述规定，解决下列问题：
（1）[﹣4.5]＝ ﹣5 ，＜3.01＞＝ 4 ；
（2）若x为整数，且[x]+＜x＞＝2017，求x的值；
（3）若x、y满足方程组，求x、y的取值范围．
解：（1）由题可得[﹣4.5]＝﹣5，＜3.01＞＝4，
故答案为：﹣5，4；
（2）∵[x]≤x，且x为整数，
∴[x]＝x，
∵＜x＞＞x，且x为整数，
∴＜x＞＝x+1，
∵[x]+＜x＞＝2017，
∴x+（x+1）＝2017，
解得x＝1008；
（3）解原方程组，得，
又∵[x]表示不大于x的最大整数，＜x＞表示大于x的最小整数，
∴﹣1≤x＜0，2≤y＜3．
25．（8分）（2024•邵阳模拟）某商场同时采购了A，B两种品牌的运动装，第一次采购A品牌运动装10件，B品牌运动装30件，采购费用为8600元；第二次只采购了B品牌运动装50件，采购费用为11000元．
（1）求A，B两种品牌运动装的采购单价分别为多少元每件？
（2）商家通过一段时间的营销后发现，B品牌运动装的销售明显比A品牌好，商家决定采购一批运动装，要求：①采购B品牌运动装的数量是A品牌运动装的2倍多10件，且A品牌的采购数量不低于18件；②采购两种品牌运动装的总费用不超过15000元，请问该商家有哪几种采购方案？
解：（1）设A品牌运动装的采购单价是x元/件，B品牌运动装的采购单价是y元/件，
根据题意得：，
解得：．
答：A品牌运动装的采购单价是200元/件，B品牌运动装的采购单价是220元/件；
（2）设该商家采购A品牌运动装m件，则采购B品牌运动装（2m+10）件，
根据题意得：，
解得：18≤m≤20，
又∵m为正整数，
∴m可以为18，19，20，
∴该商家共有3种采购方案，
方案1：采购A品牌运动装18件，B品牌运动装46件；
方案2：采购A品牌运动装19件，B品牌运动装48件；
方案3：采购A品牌运动装20件，B品牌运动装50件．
26．（8分）（2023•曲靖一模）2022年1月7日，《云南省全民健身实施计划（2021﹣2025年）》新闻发布会顺利举行．会议上就“十四五”时期深化体育改革，推进新时代全民健身高质量发展作了全面部署和安排．其中，“强化供给，补齐全民健身设施建设短板”是《云南省全民健身实施计划（2021﹣2025年）》的主要任务之一．春城小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元．
（1）A型健身器材和B型健身器材的单价是多少钱？
（2）春城小区计划购买B型健身器材的数量不超过A型健身器材的数量的2倍，购买资金不低于10800元，请问共有哪几种购买方案，哪一种方案最省钱．
解：（1）设A型健身器材的单价是x元，B型健身器材的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：A型健身器材的单价是1000元，B型健身器材的单价是1200元．
（2）设购买m台A型健身器材，则购买（10﹣m）台B型健身器材，
依题意得：，
解得：≤m≤6．
又∵m为整数，
∴m可以为4，5，6，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买4台A型健身器材，6台B型健身器材，所需购买资金为1000×4+1200×6＝11200（元）；
方案2：购买5台A型健身器材，5台B型健身器材，所需购买资金为1000×5+1200×5＝11000（元）；
方案3：购买6台A型健身器材，4台B型健身器材，所需购买资金为1000×6+1200×4＝10800（元）．
∵11200＞11000＞10800，
∴最省钱的购物方案为：购买6台A型健身器材，4台B型健身器材．
27．（8分）（2023•金凤区校级二模）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元．
（1）求每副象棋和围棋的价格；
（2）若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？
解：（1）设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为y元．
依题意得，
解得．
答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元．
（2）设购买m副围棋，则购买（100﹣m）副象棋．
依题意得：30（100﹣m）+35m≤3200，
解得m≤40．
答：最多能购买40副围棋．
28．（8分）（2022秋•婺城区期末）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．
（1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？
（2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？
解：（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元．
依题意，得：，
解得：．
答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；
（2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20﹣m）个A型垃圾箱．
依题意，得：，
解得：5≤m≤．
又m为整数，m可以为5，6，7，
∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；
方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；
方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱