专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳（苏科版）

这是一份专题06 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳（苏科版），文件包含专题06特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型原理直线轨迹原卷版docx、专题06特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型原理直线轨迹解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
例1．（2023·江苏·一模）如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_____．
【答案】
【分析】根据等边△EFG，EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，从而得出矩形HEPQ，从而找到最短CG，再利用30°角所对直角边为斜边一半，从而得解．
【详解】∵△EFG为等边三角形，∴EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，
易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝，∠HEP＝90°，
∵∠CEP＝90°﹣∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝，
∴CQ＝CP+PQ＝+＝．∴CG的最小值为．故答案为．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，旋转图形的性质，全等三角形的性质，30°角所对直角边为斜边一半，牢固掌握几何相关知识点，灵活添加辅助线构造矩形是解题关键
例2．（2023·江苏·八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________．
【答案】
【分析】取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH//CE，由三角形中位线定理可得PH//EC，可得点P在AH上，当BP⊥AH时，PB有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB，
∵点E是AB中点，点H是CD中点，∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，
∴四边形AECH是平行四边形，∴AH//CE，
∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，∴PH//EC，∴点P在AH上，
∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值，
∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，AH＝BH＝，
∴∠AHB＝90°，∴BP的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．
例3．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．
【答案】4+2
【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．
【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，
∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，
又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，
由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'， 所以EF＝EF'．
在△DEF和△GEF'中，，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，则点F'的运动轨迹为射线GF'．
观察图形，可得A，E关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴，
在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，∴BF'+EF'≥2，
∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，故答案为：4+2．
【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
例4．（2023·山东泰安·统考二模）如图，矩形的边，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，
∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，
又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，
∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
∴CG的最小值＝，故选B．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键．
例5．（2023·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________．
【答案】3
【分析】连接BE，作BH⊥AD，由旋转的性质可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值转化为求BE的最小值，再根据垂线段最短可得答案．
【详解】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H，
菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．
∵∠ECF=120°，∴∠BCD=∠ECF，∴∠BCE=∠DCF 由旋转可得：EC=FC，
在△BEC和△DFC中，，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE，
即求DF的最小值转化为求BE的最小值．
∵在Rt△AHB中，∠BAH=60°，AB=，∴BH==3，
当E与H重合时，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题关键．
例6．（2023春·江苏·八年级校考期中），，，E为上一动点，连接，以为邻边作，的最小值为_________．

【答案】
【分析】根据垂线段最短，得当时，有最小值，即有最小值，过点B作交于点F，证明四边形是矩形，在中，利用含30度角的直角三角形和勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，过点B作交于点F，∴，

∵四边形是平行四边形，∴，，∴四边形是平行四边形，
∵，即，∴四边形是矩形，∴，
在中，，，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形和勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
例7．（2023·安徽·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】根据中位线性质可得MN是AE的一半，则当AE最小时，MN最小，利用30°直角三角形求出AE最小值，解答即可．
【详解】解：∵点，分别是，的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN，
∴当AE最小时，MN最小，当AE⊥BC时，AE最小，在四边形是平行四边形，，
∴AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC =60，∵AE⊥BC，∴∠AEB =90°，
∴∠BAE =30°，∴BE，∴ ，∴MN，∴MN最小为：．
【点睛】本体考查了三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
例8．（2023·山东枣庄·统考一模）如图，在中，，，，是上一动点，过点作于点，于点．连接，则线段的最小值是________．
【答案】/
【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵，，，∴，
∵，，∴四边形是矩形，∴，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时，，
即，解得，∴线段的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023上·广东茂名·九年级校考期中）如图，在菱形中，，，是边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，由菱形的性质得，可证四边形为矩形，连接，则，当时时，最短，由勾股定理求出，再利用面积法即可求出的最小值，熟练掌握矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解： ∵四边形是菱形，∴，
∵于点，于点，∴四边形是矩形，
连接，则，当时，的值最小，

∵，，∴，，∴，
∵，∴，解得，
∴的最小值为，故选：．
2．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，四边形是菱形，点和分别是边和上的动点，线段的最大值是，最小值是，则这个菱形的边长是___________．

【答案】
【分析】当点与重合，点与点重合时，线段的最大值是，当时，最小值是，如图所示（见详解），过点作延长线于，在，中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，点和分别是边和上的动点，
当点与重合，点与点重合时，线段的最大值是，
当时，最小值是，如图所示，过点作延长线于，
∵四边形是菱形，∴，
当点与重合，点与点重合时，线段的最大值是，即，
当时，最小值是，
∴（是边上的高），且，∴
在中，，，∴，
设，则，
在中，，即，解得，，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点与菱形，直角三角形勾股定理的综合，理解动点中线段最大值与最小值，菱形的性质，勾股定理是解题的关键．
3．（2023上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（ ）．

A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．首先证明，推出点G的在射线上运动，推出当时，的值最小，证明四边形是矩形，进一步推出，则，即可得到的最小值为．
【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．

∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴点G的在射线上运动，∴当时，的值最小，
∵，∴，∴，
∴，∴四边形是矩形，
∴，∴，∴，
∴，∴，∴的最小值为．故选：C．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形得到动点运动的轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD=∠ODB=45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD=90°，OC=OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA=∠DOB，再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．
【详解】解：如图，∵四边形CDEF是正方形，，
，，
在与中，，，∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，由勾股定理得： ,
要使AB最小，只要OA取最小值即可，根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，OD=OF，∴CA=DA，∴OA=,∴AB=．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键．
5．（2023上·湖北十堰·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，过点作．若，轴上的一点，连接，当点在轴上移动时，的最小值为 ．
【答案】6
【分析】过点作轴于点D，根据“”证明，从而得到，进而得出点在平行于x轴与x轴距离为6的直线上运动，则当垂直于这条直线时，最短，求解即可．
【详解】解：过点作轴于点D，

∵，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴点C在平行于x轴与x轴距离为6的直线上运动，如图：当垂直于这条直线时，最短，此时，故答案为：6．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质得出点C的运动轨迹是解本题的关键．
6．（2023·吉林·长春二模）如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ．
【答案】
【分析】过作于，依据是等腰直角三角形，即可得出，依据，即可得到当时，的最小值等于的长，进而得到答案．
【详解】解：如图所示，过作于，
，，是等腰直角三角形，，
四边形是平行四边形，，
当时，的最小值等于的长，对角线的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，证明，得出，点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，求出最小值即可．
【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，∴，
∵，∴，在和中，
∴，∴，
∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，
∵，，∴，故选：B．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，是解题的关键．
8．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为______．
【答案】
【分析】如图：在取一点T使得，连接，在上取一点K，使得
，连接，利用全等三角形的性质证明，由矩形的性可得、，进而推出点F在射线上运动，当时值最小．
【详解】解：如图：在取一点T使得，连接，在上取一点K，使得
，连接
∵∴，∴，
∵，，∴，
∵，∴∴,
∵矩形中，，∴，
∵,∴，∴,
点F在射线上运动，当时，的值最小，最小值为．故答案为．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形并确定是解答本题的关键．
9．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．
【答案】4+2
【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．
【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，
∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，
∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，
又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE，
∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'，
由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'．
在△DEF和△GEF'中，，∴△DEF≌△GEF'（SAS）．
∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形，可得A，E关于GF'对称，
∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，
在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴，
在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，∴BF'+EF'≥2，
∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，故答案为：4+2．
【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
10．（2022·广东·珠海三模）如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图，连接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短．
【详解】解：如图，作射线BG．
∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，∴∠BCG＝∠DCF，
在△CBG和△CDF中，∴△CBG≌△CDF，∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，∴点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，
根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，
此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝3m，
在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴4＝m2+9m2，
∴m＝（负根已经舍弃），∴EG的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短是解答本题的关键．
11．（2022·重庆·九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为______．
【答案】
【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG

从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值；作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HEEC＝1故答案为．
12．（2022·福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．
【答案】
【分析】设，作轴，作，作，根据可证明，由此可求，令，，可得在直线上运动，当时，的值最小，再由得，进而得出，即可得出答案．
【详解】设，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，∴，.
∵，∴，，∴，
令，，∴，
∴点在直线上运动，当时，的值最小.
在中，令，则，令，则，∴，，∴．
∵，∴，∴，
在中，令，则，∴，∴.
∵，即，解得，
所以的最小值为.故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点的运动轨迹是解题的关键．
13．（2023下·江苏泰州·八年级校考期中）如图，线段的长为12，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为 ．

【答案】6
【分析】连接，证明平分，从而确定点O在定直线上，结合等边，确定，是定角，根据垂线段最短计算即可．
【详解】解：如图，连接，

因为等边，矩形，所以，
所以，所以，所以，所以平分，
因为是定角，所以的角平分线是唯一确定的射线，
所以点O在定直线上，所以，过点B作于点E，
因为，所以，故答案为：6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短，直角三角形的性质是解题的关键．
14．（2023·河南周口·校联考三模）如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．

【答案】
【分析】连接，与相交于点H,取中点I，连接，由正方形的边长是8得到，，，由中位线定理得到，则三点共线，即点G的运动轨迹是线段，由，当点G和点H重合时，线段值最小，由勾股定理求出，即可得到，得到线段的最小值．
【详解】解：连接，与相交于点H,取中点I，连接，

∵正方形的边长是8，∴，，，
∵点G是线段的中点，∴，∴三点共线，∴点G的运动轨迹是线段，
∵，∴当点G和点H重合时，线段值最小，
∴，∴，即线段的最小值为．
【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，证明三点共线是解题的关键．
15．（2023上·河南平顶山·九年级统考期中）如图，在菱形中，，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，的最小值为 ．

【答案】/
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，连接，作于，如图，利用菱形的性质得，则可判断和都是等边三角形，再证明得到，，接着判定为等边三角形，所以，然后根据垂线段最短判断的最小值即可．
【详解】解：连接，作于，如图，

四边形为菱形，，而，
和都是等边三角形，，，
在中，，，，
在和中，，，，
，为等边三角形，，
而当点运动到点时，的值最小，其最小值为，的最小值为，故答案为：．
16．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，．
(1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点．
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值．
【答案】(1)见解析(2)①见解析②
【分析】根据证明三角形全等即可；根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，，．
，．，，
在和中， ≌；
（2）证明：如图中，设与相交于点．

，．≌，．
，．，
，，四边形是矩形，．
四边形是正方形，，．．
又，≌．．矩形是正方形；
解：作交于点，作于点，

∵∴≌．．
，，最大时，最小，．
．由可知，是等腰直角三角形，．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．