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专题08 特殊平行四边形中的图形变换模型之翻折（折叠）模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳（苏科版）
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这是一份专题08 特殊平行四边形中的图形变换模型之翻折（折叠）模型-2023-2024学年八年级数学下册常见几何模型全归纳（苏科版），文件包含专题08特殊平行四边形中的图形变换模型之翻折折叠模型原卷版docx、专题08特殊平行四边形中的图形变换模型之翻折折叠模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共64页， 欢迎下载使用。
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，将沿翻折得到，点落在上．若，，则（ ）cm．
A．B．C．D．
例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为 ．
例4．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点落B在点F处，连结，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
例5．（2023春·广东韶关·八年级统考期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（ ）
A．3B．4C．4.8D．5
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3B．C．D．
例7．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（ ）
A．B．C．3D．3.5
例2．（2023·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（ ）
A．－1B．－1C．－1D．2
例3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边分别交于点M、N．则的长为 ．
例4．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折能与四边形EMNF重合，且线段EF经过顶点D，若，，则△DFC的面积为 ．
例6．（2023·安徽安庆·校考三模）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点B的对应点为点H，折痕为且交于点F．（1） ；（2）若点E是的中点，则的长为 ．
3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，是的中点，连接，则的长度是 ．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4B．6＋4C．12D．8＋4
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么( )
A．B．C．D．
例 4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．
例5．（2023春·江苏徐州·八年级期中）如图，正方形ABCD中，，点E在边CD上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G．连结AG、CF．下列结论：①；②；③是正三角形；④的面积为90，其中正确的是 （填所有正确答案的序号）
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．
(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．
(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）矩形中，，，点是边上一动点，沿翻折，若点的对称点恰好落在矩形的对称轴上，则折痕的长是（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，E为上一点，将沿翻折至，若点F恰好落在上，，，则（ ）
A．B．C．4D．5
3．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
4．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（ ）
A．8B．C．16D．
5．（2023春·成都市九年级期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．3
6．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）如图，正方形的边长为10，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ）
A．B．C．1D．
8．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2023·广东深圳·一模）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，将矩形沿着、、翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．②③④
11．（2023春·上海长宁·八年级校考期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，有一正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF，再沿过点C的折痕将角B翻折，使得点B落在EF的H上，折痕交BE于点G，则∠HCF的度数为 ；若正方形ABCD的边长为2，则EG的长度为 ．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上一点，将沿所在直线翻折得到，连接．当N为边的中点时，的长度为 ；点N在边上运动的过程中，长度的最小值为 ．
14．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的处，点落在点处，折痕为，点，分别在边，上，若为直角三角形，则的长为 ．
15．（2023秋·河南开封·九年级校考期末）如图，在菱形中，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E 处，连接，，当为等腰三角形时，的长为 ．
16．（2023秋·重庆·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 ．
17．（2023·河南周口·校联考二模）如图，矩形的边长为6，将沿对角线翻折得到，与交于点，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ．
18．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为 ．
19．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知如图，在矩形中，点E是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点H，延长，相交于点G，若，，则 ．
20．（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段，的长分别是，且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处．
(1)求线段的长；(2)求点的坐标；(3)所在直线与相交于点，点在轴的正半轴上，以、A、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点坐标．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接．(1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由．(2)如图2，若，以为边在右侧作等边；
①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度．②直接写出的最小值．
22．（2023春·江西·九年级专题练习）（1）【知识呈现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形是菱形；
（2）【知识应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点、，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，则的长为 ；
（3）【知识拓展】如图③，直线EF分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，则四边形的面积为 ．
【知识储备】
折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。"折” 就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】
1）矩形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，点在边上，将沿翻折得到，点落在上．若，，则（ ）cm．
A．B．C．D．
例2．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，是一张长方形纸片，且．沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在上（如图中的点），折痕交于点G，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形中，，，将沿对角线翻折，使点落在处，与轴交于点，则点的坐标为 ．
例4．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点落B在点F处，连结，则的长为（ ）
A．6B．C．D．
例5．（2023春·广东韶关·八年级统考期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，，则的长为（ ）
A．3B．4C．4.8D．5
例6．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在矩形中，，．点O为矩形的对称中心，点E为边上的动点，连接并延长交于点F．将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点G，连接，则的面积的最小值为（ ）
A．18－3B．C．D．
例7．（2023春·辽宁抚顺·八年级校联考期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（ ）
A．B．C．D．
例8．（2023秋·山西·九年级专题练习）综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形中，E为边上一点，F为边上一点，连接、，分别将和沿、翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．
(1)如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则＝ °，＝ ；
(2)如图2，若F为的中点，平分，，，求的度数及的长；
(3)，，若F为的三等分点，请直接写出的长 ．
2）菱形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（ ）
A．B．C．3D．3.5
例2．（2023·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（ ）
A．－1B．－1C．－1D．2
例3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边分别交于点M、N．则的长为 ．
例4．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2023·重庆巴南·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折能与四边形EMNF重合，且线段EF经过顶点D，若，，则△DFC的面积为 ．
例6．（2023·安徽安庆·校考三模）如图，在菱形中，，，点E是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点B的对应点为点H，折痕为且交于点F．（1） ；（2）若点E是的中点，则的长为 ．
3）正方形的翻折模型
【模型解读】
例1．（2023春·广西河池·八年级统考期末）如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，是的中点，连接，则的长度是 ．
例2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（ ）
A．4＋4B．6＋4C．12D．8＋4
例3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么( )
A．B．C．D．
例 4．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．
例5．（2023春·江苏徐州·八年级期中）如图，正方形ABCD中，，点E在边CD上，且．将沿AE对折至，延长EF交边BC于点G．连结AG、CF．下列结论：①；②；③是正三角形；④的面积为90，其中正确的是 （填所有正确答案的序号）
例6．（2023·江苏扬州·校考二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ．
例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形中，，点是边上一点（点不与重合），将沿直线翻折，点落在点处．
(1)如图2，当点落在对角线上时，求的长．(2)如图3，连接分别交于点，点，连接并延长交于点，当为中点时，试判断与的位置关系，并说明理由．
(3)如图4，在线段上取一点，且使，连接，则在点从点运动到点的过程中，的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．
课后专项训练
1．（2023春·安徽·九年级专题练习）矩形中，，，点是边上一动点，沿翻折，若点的对称点恰好落在矩形的对称轴上，则折痕的长是（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考期中）如图，在矩形纸片中，E为上一点，将沿翻折至，若点F恰好落在上，，，则（ ）
A．B．C．4D．5
3．（2023春·广东中山·八年级校联考期中）如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
4．（2023春·河北廊坊·八年级统考期末）如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（ ）
A．8B．C．16D．
5．（2023春·成都市九年级期中）如图，菱形ABCD中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，若点G恰好为CD边的中点，则AE的长为（ ）
A． B． C． D．3
6．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）如图，正方形的边长为10，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ）
A．B．C．1D．
8．（2023·河北·模拟预测）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2023·广东深圳·一模）如图，将正方形翻折，使点、分别与点、重合，折痕为，交于点，交于点，连接、．给出以下结论：①垂直平分；②；③；④的周长等于的2倍．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，将矩形沿着、、翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．②③④
11．（2023春·上海长宁·八年级校考期中）如图，在边长为2的正方形中，E为边的中点，点Р在边上．如果将沿直线翻折后，点C恰好落在线段上的点Q处．那么的长为 ．
12．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，有一正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF，再沿过点C的折痕将角B翻折，使得点B落在EF的H上，折痕交BE于点G，则∠HCF的度数为 ；若正方形ABCD的边长为2，则EG的长度为 ．
13．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上一点，将沿所在直线翻折得到，连接．当N为边的中点时，的长度为 ；点N在边上运动的过程中，长度的最小值为 ．
14．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的处，点落在点处，折痕为，点，分别在边，上，若为直角三角形，则的长为 ．
15．（2023秋·河南开封·九年级校考期末）如图，在菱形中，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点B重合），将沿直线折叠，使点B落在点E 处，连接，，当为等腰三角形时，的长为 ．
16．（2023秋·重庆·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为 ．
17．（2023·河南周口·校联考二模）如图，矩形的边长为6，将沿对角线翻折得到，与交于点，再以为折痕，将进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为 ．
18．（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为，点E在边上，则的长为 ．
19．（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知如图，在矩形中，点E是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点H，延长，相交于点G，若，，则 ．
20．（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段，的长分别是，且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处．
(1)求线段的长；(2)求点的坐标；(3)所在直线与相交于点，点在轴的正半轴上，以、A、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点坐标．
21．（2023春·浙江·八年级专题练习）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接．(1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由．(2)如图2，若，以为边在右侧作等边；
①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度．②直接写出的最小值．
22．（2023春·江西·九年级专题练习）（1）【知识呈现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、．求证：四边形是菱形；
（2）【知识应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点、，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，则的长为 ；
（3）【知识拓展】如图③，直线EF分别交平行四边形的边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，，则四边形的面积为 ．
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