第1章《整式的乘除》【培优讲练】-2023-2024学年北师大版数学七年级下册章节复习讲义

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1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；
2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；
3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
知识点01：幂的运算
【高频考点精讲】
1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
6.负指数幂：（≠0，是正整数）.
【易错点剖析】公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
知识点02：整式的乘法和除法
【高频考点精讲】
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
【易错点剖析】运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
4.单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.
5.多项式除以单项式
先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.
即：
知识点03：乘法公式
【高频考点精讲】
1.平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
【易错点剖析】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：；
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
【易错点剖析】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.53
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•海口期末）已知a﹣b＝1，a2+b2＝25，则ab的值为（ ）
A．6B．12C．13D．24
解：∵a﹣b＝1，a2+b2＝25，
∴（a﹣b）2＝12＝1，
a2+b2﹣2ab＝1，
25﹣2ab＝1，
2ab＝24，
∴ab＝12，
故选：B．
2．（2分）（2023秋•金乡县期末）根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（ ）
A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2
B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2
C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2
D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2
解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，
故选：A．
3．（2分）（2023秋•城关区校级期末）已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（ ）
A．35B．19C．12D．10
解：∵2a＝5，4b＝7，
∴2a+2b＝2a•22b
＝2a•（22）b
＝2a•4b
＝5×7
＝35，
故选：A．
4．（2分）（2023秋•南关区校级期末）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+2ab+b2＝（a+b）2D．（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）
解：甲图中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2，图乙中阴影部分的面积为：（a﹣b）2，
所以a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，
故选：B．
5．（2分）（2023秋•安州区期末）下列运算正确的是（ ）
A．2a2•3b2＝6a5b5B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．（a5）2＝a2D．
解：A、2a2•3b2＝6a2b2，故A不符合题意；
B、（﹣2a）2＝4a2，故B不符合题意；
C、（a5）2＝a10，故C不符合题意；
D、（x≠0），故D符合题意；
故选：D．
6．（2分）（2023秋•广安期末）下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．（a2）3＝a5
C．（a2b）3＝a2b3D．a6÷a3＝a2
解：a2•a3＝a5，故A符合题意；
（a2）3＝a6，故B不符合题意；
（a2b）3＝a6b3，故C不符合题意；
a6÷a3＝a3，故D不符合题意．
故选：A．
7．（2分）（2023春•历城区校级月考）已知长方形的面积为4a2﹣6ab+2a，且一边长为2a，则其周长为（ ）
A．4a﹣3bB．8a﹣6bC．4a﹣3b﹣1D．8a﹣6b+2
解：另一边长是：（4a2﹣6ab+2a）÷2a＝2a﹣3b+1，
则周长是：2[（2a﹣3b+1）+2a]＝8a﹣6b+2．
故选：D．
8．（2分）（2023秋•桦南县期末）如图①，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“S”图案，如图②所示，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的周长可表示为（ ）
A．4a﹣8bB．2a﹣3bC．2a﹣4bD．4a﹣10b
解：根据题意得：新矩形的长为a﹣b，宽为a﹣3b，
则新矩形周长为2（a﹣b+a﹣3b）＝2（2a﹣4b）＝4a﹣8b，
故选：A．
9．（2分）（2023秋•南昌期末）设a，b是实数，定义关于“*”的一种运算如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．则下列结论：①若a*b＝0，则a＝0或b＝0；②a*（b+c）＝a*b+a*c；③若ab≠0，a*b＝8，则；④不存在实数a，b，满足a*b＝a2+4b2，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④
解：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab，
①∵a*b＝0，
∴4ab＝0，
∴a＝0或b＝0，
故①正确；
②∵a*（b+c）＝4a（b+c）＝4ab+4ac，
a*b+a*c＝4ab+4ac，
∴a*（b+c）＝a*b+a*c，
故②正确；
③∵ab≠0，a*b＝8，
∴4ab＝8，
∴ab＝2，
∴÷
＝•
＝
＝
＝，
故③正确；
④∵a*b＝a2+4b2，
∴4ab＝a2+4b2，
∴a2﹣4ab+4b2＝0，
∴（a﹣2b）2＝0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b，
∴当a＝2b时，满足a*b＝a2+4b2，
故④不正确；
所以，上列结论，其中正确的是①②③，
故选：A．
10．（2分）（2023春•高青县期中）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10B．20C．30D．40
解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；
则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S▱ECGF﹣S△BGF＝a•a÷2+b•b﹣（a+b）•b÷2；①
S△DEF＝底EF•高DE÷2＝b•（a﹣b）÷2； ②
S△CGF＝底CG•高GF÷2＝b•b÷2； ③
∴阴影部分面积＝①+②+③
＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2
＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2
＝（a2+b2）÷2，④
由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：
（ a+b）2＝102，
解得a2+b2+2ab＝100，
a2+b2＝100﹣2•20，
化简＝60代入④式，
得60÷2＝30，
∴S阴影部分＝30．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•南昌期末）若（x﹣4）（x+m）展开后，结果不含有x的一次项，则m的值是 4 ．
解：（x﹣4）（x+m）
＝x2+mx﹣4x﹣4m
＝x2+（m﹣4）x﹣4m，
∵（x﹣4）（x+m）展开后，结果不含有x的一次项，
∴m﹣4＝0，
解得：m＝4，
故答案为：4．
12．（2分）（2023秋•锦江区校级期末）已知x2﹣（2m+3）x+9是一个完全平方式，则m＝ 或﹣． ．
解：∵x2±6x+9
＝x2±2•x•3+32
＝（x±3）2，
∴﹣（2m+3）＝±6，
解得m＝或m＝﹣，
故答案为：或﹣．
13．（2分）（2023秋•金昌期末）若x2+kxy+16y2是一个完全平方式，则k＝ ±8 ．
解：∵x2+kxy+16y2＝x2+kxy+（4y）2，
∴kxy＝±2•x•4y，
解得k＝±8．
故答案为：±8．
14．（2分）（2023秋•靖宇县期末）＝ ﹣8 ．
解：＝＝＝﹣8．
故答案为：﹣8．
15．（2分）（2023秋•瑶海区期末）给等式中的某些字母赋予一定的特殊值，可以解决一些问题．比如对于等式（x+3）2＝ax2+bx+c，当x＝0时，可得32＝c，计算得c＝9；请你再给工赋不同的值，可计算得4a+2b＝ 16 ．
解：当x＝2时，可得（2+3）2＝a×22+b×2+c，
化简得4a+2b+c＝25，
∵c＝9，
∴4a+2b＝16，
故答案为：16．
16．（2分）（2023秋•南宁期末）某农户租两块土地种植沃柑．第一块是边长为a m的正方形，第二块是长为（a+10）m，宽为（a+5）m的长方形，则第二块比第一块的面积多了 （15a+50） m2．
解：由题意得：（a+10）（a+5）﹣a2
＝a2+5a+10a+50﹣a2
＝a2﹣a2+5a+10a+50
＝（15a+50）m2，
∴第二块比第一块的面积多了（15a+50）m2，
故答案为：（15a+50）．
17．（2分）（2023秋•凉州区校级期末）若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y，则A＝ x+z ．
解：∵（x+y+z）（x﹣y+z），
＝（x+z+y）（x+z﹣y），
＝[（x+z）+y][（x+z）﹣y]，
＝（A+B）（A﹣B），
∵B＝y，
∴A＝x+z．
18．（2分）（2023秋•孟村县期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别为S1，S2．
（1）S1与S2的大小关系为：S1 ＞ S2；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
（2）若满足条件|S1﹣S2|＜n≤2023的整数n有且只有4个，则m的值为 1010 ．
解：（1）∵S1＝（m+7）（m+1）
＝m2+8m+7，
S2＝（m+4）（m+2）
＝m2+6m+8，
∴S1﹣S2
＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）
＝m2+8m+7﹣m2﹣6m﹣8
＝2m﹣1，
∵m为正整数，
∴2m﹣1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2，
故答案为：＞；
（2）|S1﹣S2|
＝|2m﹣1|
＝2m﹣1，
∵2m﹣1＜n≤2023的整数n有且只有4个，
∴这四个整数解为2023，2022，2021，2020，
∴2019≤2m﹣1＜2020，
解得：1010≤m＜1010.5，
∵m为正整数，
∴m＝1010．
故答案为：1010．
19．（2分）（2023秋•兴文县期中）若规定符号的意义是：＝ad﹣bc，则当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为 9 ．
解：由题意可得，
＝m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）
＝m3﹣7m+3，
∵m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2＝2m+3，m2﹣2m＝3
∴m3﹣7m+3
＝m（m2）﹣7m+3
＝m（2m+3）﹣7m+3
＝2m2﹣4m+3
＝2（m2﹣2m）+3
＝2×3+3
＝9，
所以当m2﹣2m﹣3＝0时，的值为9．
故答案为：9．
20．（2分）（2023秋•红谷滩区校级月考）观察下列各式及其展开式
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
……
请你猜想（2x﹣1）8的展开式中含x2项的系数是 112 ．
解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含x2项的系数为：22×（﹣1）6×28＝112．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•南昌期末）（1）计算：|﹣2|；
（2）化简：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣1）．
解：（1）
＝（﹣2）2+1﹣2
＝4+1﹣2
＝5﹣2
＝3；
（2）（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣1）
＝x2﹣9﹣x2+x
＝x2﹣x2+x﹣9
＝x﹣9．
22．（6分）（2023秋•湛江期末）【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① a2﹣b2 图② （a+b）（a﹣b） ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用字母a、b表示）；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知2m﹣n＝3，2m+n＝4，则4m2﹣n2的值为 12 ；
②计算：（x﹣3）（x+3）（x2+9）；
【拓展】计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）的结果为 264﹣1 ．
解：【探究】（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；图②的阴影部分为长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形，其面积为（a+b）（a﹣b）．
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由图①与图②的面积相等，可以得到乘法公式，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
【应用】①4m2﹣n2＝（2m﹣n）（2m+n）＝3×4＝12，
故答案为：12；
②（x﹣3）（x+3）（x2+9）＝（x2﹣9）（x2+9）＝x4﹣81；
【拓展】（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1），
＝（28﹣1）（28+1）…（232+1），
＝264﹣1．
23．（8分）（2023秋•怀集县期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： （a+b）2 ；
方法2： a2+2ab+b2 ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．
解：（1）用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，
关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由题意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，
∴ab＝＝＝＝12；
（3）由题意得图3中阴影部分的面积为：+a2﹣＝＝，
∴当a+b＝8，ab＝15时，
图3中阴影部分的面积为：＝＝．
24．（8分）（2023秋•林州市期末）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形ABCD．
（1）观察图2，试猜想式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）根据（1）中的数量关系，解决下列问题：
①已知x﹣y＝5，xy＝﹣6，求x+y的值；
②已知a＞0， 求 的值．
解：（1）存在关系为（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，理由如下：
左式＝m2+2mn+n2﹣（m2﹣2mn+n2）
＝4mn
＝右式．
（2）①（x+y）2＝4xy+（x﹣y）2＝4×（﹣6）+52＝1，
∴x+y＝±1；
②（a+）2＝4×a×+（a﹣）2＝8+1＝9，
∵a＞0，
∴a+＝3．
25．（8分）（2023秋•商丘期末）图a是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
（1）请求图b中的大正方形的边长为 m+n ，阴影部分正方形的边长为 m﹣n ．
（2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
（3）观察图b，请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn这三个代数式之间的等量关系．
（4）若m+n＝5，m﹣n＝3，求mn的值．
解：（1）图b中的大正方形的边长为（m+n），阴影部分正方形的边长为（m﹣n）；
故答案为：m+n，m﹣n；
（2）法一：S阴＝S大正方形﹣4×S长方形，
∴S阴＝（m+n）2﹣4mn；
法二：S阴＝S小正方形＝（m﹣n）2；
（3）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2．
（4）当m+n＝5，m﹣n＝3时，mn＝＝＝4．
26．（8分）（2023秋•衡山县期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．请结合相关知识，解答下列问题：
（1）如图1是由4个大小相同，长为a、宽为b的长方形围成的边长为（a+b）的正方形，用含字母a，b的代数式表示出阴影部分的面积．
①通过计算阴影部分正方形的边长，求阴影部分的面积，可列代数式： （a﹣b2） ；
②通过用较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式： a2﹣2ab+b2 ；
（2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式： （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ；
（3）若a+b＝6，ab＝8，求图2中阴影部分的面积．
解：（1）①由图形可知：阴影部分正方形的边长＝长方形的长﹣长方形的宽＝a﹣b，
∴面积为（a﹣b）2，
故答案为：（a﹣b）2；
②∵较大正方形的边长为a+b，阴影部分正方形面积＝较大正方形的面积减去4个小长方形的面积，
∴阴影部分正方形面积＝（a+b）2﹣4ab＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2；
故答案为：a2﹣2ab+b2；
（2）根据图1中的阴影部分的面积关系可以写出一个代数恒等式为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
（3）∵图2中阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣正方形周围3个直角三角形的面积，
∴图2中阴影部分的面积＝
＝
＝
＝
＝18﹣4
＝14．
27．（8分）（2023秋•汉阳区期末）问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ，图2 （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ；（用字母a，b表示）
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
（1）已知a+b＝7，ab＝12，求a2+b2的值；
（2）已知（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023，求（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值．
拓展运用：如图3，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是S1和S2.若AB＝m，S＝S1+S2，则直接写出Rt△ACF的面积．（用S，m表示）．
解：问题呈现：利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
数学思考：（1）∵a+b＝7，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝72﹣2×12
＝49﹣24
＝25，
∴a2+b2的值为25；
（2）设2024﹣x＝a，2022﹣x＝b，
∴a﹣b＝2024﹣x﹣（2022﹣x）＝2，
∵（2024﹣x）（2022﹣x）＝2023，
∴ab＝2023，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝22+2×2023
＝4+4046
＝4050，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2022）2的值为4050；
拓展运用：Rt△ACF的面积＝，
理由：设AC＝a，BC＝b，
∵AB＝m，
∴a+b＝m，
∵S＝S1+S2，
∴S＝a2+b2，
∴Rt△ACF的面积＝AC•CF
＝ab
＝×[（a+b）2﹣（a2+b2）]
＝．
28．（8分）（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）由图2可得等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知 a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；
（3）如图所示：
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc