第4章《三角形》【培优讲练】-2023-2024学年北师大版数学七年级下册章节复习讲义

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1. 理解三角形有关的概念,掌握三角形内角和定理的证明，能应用内角和定理进行相关的计算及证明问题.
2. 理解并会应用三角形三边关系定理；
3.了解三角形中三条重要的线段并能正确的作图.
4.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题.
5. 掌握常见的尺规作图方法，并根据三角形全等判定定理利用尺规作一个三角形与已知三角形全等.
知识点01：三角形的内角和
【高频考点精讲】
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
【易错点剖析】应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
知识点02：三角形的分类
【高频考点精讲】
1.按角分类：
【易错点剖析】
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
【易错点剖析】
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形.
知识点03：三角形的三边关系
【高频考点精讲】
1.定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.
【易错点剖析】
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
2.三角形的重要线段：
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这点称为三角形的重心．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.
知识点04：全等三角形的性质与判定
【高频考点精讲】
1.全等三角形的性质
全等三角形对应边相等，对应角相等.
2.全等三角形的判定定理
全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “
全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
【易错点剖析】（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
知识点05：用尺规作三角形
【高频考点精讲】
1.基本作图
利用尺规作图作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，并利用全等三角形的知识作一个三角形与已知三角形全等；
【易错点剖析】要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.51
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•上城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，取BE＝AD，连接CE，下列条件中不一定能判定△ABD≌△ECB的是（ ）
A．BD＝CBB．AB＝ECC．∠ABC＝∠DECD．∠ABD＝∠ECB
解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
A、BD＝CB，又AD＝EB，∠ADB＝∠EBC，由SAS判定△ABD≌△ECB，故A不符合题意；
B、AB＝EC，∠ADB和∠EBC，分别是AB和EC的对角，不一定能判定△ABD≌△ECB，故B符合题意；
C、由AD∥BC，得到∠A+∠ABC＝180°，而∠BEC+∠DEC＝180°又∠ABC＝∠DEC，得到∠A＝∠BEC，由ASA判定△ABD≌△ECB，故C不符合题意；
D、∠ABD＝∠ECB，又∠ADB＝∠EBC，AD＝EB，由AAS判定△ABD≌△ECB，故D不符合题意．
故选：B．
2．（2分）（2023秋•合肥期末）在△ABC中，AD⊥BC交边BC于点D，添加下列条件后，还不能使△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD＝CDB．∠B＝∠CC．∠BAD＝∠CADD．∠ABD＝∠CAD
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，AD＝AD，
当添加条件为BD＝CD，利用SAS，可以证明△ABD≌△ACD，故A不符合题意；
当添加条件为∠B＝∠C，利用AAS，可以证明△ABD≌△ACD，故B不符合题意；
当添加条件为∠BAD＝∠CAD，利用ASA，可以证明△ABD≌△ACD，故C不符合题意；
当添加条件为∠ABD＝∠CAD，无法证明△ABD≌△ACD，故D符合题意；
故选：D．
3．（2分）（2023秋•青阳县期末）如图，已知，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④AC＝2CD．其中正确的有（ ） 个．
A．1B．2C．3D．4
解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，，
∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，AD＝EC，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，②正确；
③由②得：∠BDC＝∠BEA，
又∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠ADE＝∠BEA，
∴AD＝AE，
∴AD＝AE＝EC，③正确；
④∵AD＝AE＝EC，AE+CE＞AD+CD，
∴AD＞CD，
∴AC≠2CD，故④错误，
故选：C．
4．（2分）（2023秋•武隆区期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（ ）
A．80°B．90°C．100°D．110°
解：连接AA′．
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°，
故选：A．
5．（2分）（2023秋•武隆区期末）如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的平分线上一点，连接BD、CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接BD、CD、BE、CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、BF、CF；…，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（ ）
A．nB．2n﹣1C．D．3（n+1）
解：由题知，第1个图形中全等三角形的对数为：1；
第2个图形中全等三角形的对数为：1+2＝3；
第3个图形中全等三角形的对数为：1+2+3＝6；
第4个图形中全等三角形的对数为：1+2+3+4＝10；
..．
第n个图形中全等三角形的对数为：1+2+3+4+...+n＝；
故选：C．
6．（2分）（2023秋•海口期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC上一点，AE、ED分别平分∠BAD、∠CDA，若AB＝12，DC＝4，则AD等于（ ）
A．12B．16C．18D．20
解：如图，过点E作EF⊥AD于点F，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝90°，
∴AB⊥BE，
∵AE、ED分别平分∠BAD、∠CDA，
∴BE＝FE，EF＝EC，
在Rt△ABE和△Rt△AFE中，
，
∴Rt△ABE≌△Rt△AFE（HL），
∴AB＝AF＝12，
在Rt△CDE和△Rt△FDE中，
，
∴Rt△CDE≌△Rt△FDE（HL），
∴CD＝FD＝4，
∴AD＝AF+FD＝12+4＝16，
故选：B．
7．（2分）（2023秋•夏邑县期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A．1mB．1.6mC．1.8mD．1.4m
解：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），
∵AD＝1m，
∴AE＝AD+DE＝1.4（m），
答：爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的．
故选：D．
8．（2分）（2023秋•绥中县期末）如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（ ）
A．BC＝AD，∠ABC＝∠BADB．BC＝AD，AC＝BD
C．AC＝BD，∠CAB＝∠DBAD．BC＝AD，∠CAB＝∠DBA
解：根据图形可得公共边：AB＝AB，
A、BC＝AD，∠ABC＝∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
B、BC＝AD，AC＝BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
C、AC＝BD，∠CAB＝∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
D、BC＝AD，∠CAB＝∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；
故选：D．
9．（2分）（2023秋•旌阳区期末）如图，等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM，NE．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③△AEF是等边三角形；④DF＝DN，⑤AD∥NE．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°
∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，故①正确；③错误，
∵M为EF的中点，
∴AM⊥EF，故②正确；
∵AM⊥EF，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中，
，
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF＝DN，故④正确；
∵∠BAM＝∠BNM＝67.5°，
∴BA＝BN，
∵∠EBA＝∠EBN，BE＝BE，
∴△EBA≌△EBN（SAS），
∴∠BNE＝∠BAE＝90°，
∴∠ENC＝∠ADC＝90°，
∴AD∥EN．故⑤正确，
故选：D．
10．（2分）（2023春•竞秀区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E，下列结论：
①∠DEC＝∠BDA；
②若AB＝DC，则AD＝DE；
③当DE⊥AC时，则D为BC中点；
④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝40°；
正确的有_____个．（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴由三角形内角和定理知：∠DEC＝∠BDA，故①正确；
②∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
由①知：∠DEC＝∠BDA，
∵AB＝DC，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴AD＝DE，故②正确；
③∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∵∠C＝40°，
∴∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴D为BC中点，故③正确；
④∵∠C＝40°，
∴∠AED＞40°，
∴∠ADE≠∠AED，
∵△ADE为等腰三角形，
∴AE＝DE或AD＝DE，
当AE＝DE时，∠DAE＝∠ADE＝40°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝60°，
当AD＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BAD＝30°，
故④不正确．
∴正确的有①②③，共3个，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•鄞州区期末）如图，点E、F在线段BC上，AB＝DC且BE＝CF，添加一个条件使得△ABF≌△DCE，则这个条件可以是 AF＝DE或∠B＝∠C ．
解：根据SAS判断△ABF≌△DCE，可以添加∠B＝∠C．
根据SSS判断△ABF≌△DCE，可以添加AF＝DE．
故答案为：AF＝DE或∠B＝∠C．
12．（2分）（2023秋•鄞州区期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点A处，恰好满足A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＝122°，则∠2的度数为 64° ．
解：如图，连接AA′，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠1＝122°，
∴A′A平分∠BAC，∠DAA′＝∠CAA′，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∵∠A'BC+∠A'CB
＝180°﹣∠1
＝180°﹣122°
＝58°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A'BC+∠A'CB）＝116°，
∴∠BAC＝180°﹣116°＝64°，
∵将△ABC纸片沿DE折叠，
∴DA＝DA′，
∴∠DAA′＝∠DA′A，
∴∠DAA′＝∠DA′A＝∠CAA′，
∴∠2＝∠DA′A+∠DAA′＝∠DAA′+∠CAA′＝∠BAC＝64°．
故答案为：64°．
13．（2分）（2023秋•藁城区期末）如图，△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 110° ．
解：∵∠B＝40°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝110°，
由折叠的性质得，∠E＝∠C＝30°，∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC，
∵DE∥AB，
∴∠BAE＝∠E＝30°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°，
故答案为：110°．
14．（2分）（2023秋•浑江区期末）如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 90° ．
解：如图，在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS），
∴∠3＝∠1，
则∠2+∠3＝∠2+∠1＝90°．
故答案为：90°．
15．（2分）（2023秋•阿荣旗期末）请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 SSS ．
解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，
在△COD与△C′O′D′中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：SSS．
16．（2分）（2023秋•高要区期末）如图，已知BC＝EF，∠B＝∠E，请你只添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，你添加的条件是 ① ．（填序号）
①AB＝DE；
②AC＝DF．
解：①AB＝DE，
又∵BC＝EF，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（SAS），符合题意；
②AC＝DF，
又BC＝EF，∠B＝∠E，无法判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
故答案为：①．
17．（2分）（2023秋•广安期末）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为 1或 ．
解：由题意知，AP＝t，BP＝8﹣t，BQ＝xt，
△ACP与△BPQ全等，∠A＝∠B，
∴分两种情况求解：
①当△ACP≌△BPQ时，AP＝BQ，即t＝xt，解得x＝1；
②当△APC≌△BPQ时，AP＝BP，即t＝8﹣t，解得t＝2，AC＝BQ，即6＝xt，解得；
综上所述，x的值是1或，
故答案为：1或．
18．（2分）（2022秋•芦淞区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．当点P运动时间为 2或6 秒时，△PMC与△QNC全等．
解：如图1所示：
∵△PMC≌△CNQ，
∴PC＝QC，
∴8﹣t＝10﹣2t，
解得：t＝2；
如图2所示：
∵点P与点Q重合，
∴△PMC≌△QNC，
∴8﹣t＝2t﹣10，
解得：t＝6；
故答案为：2或6．
19．（2分）（2022秋•萨尔图区校级期末）已知△ABC中，∠A＝x°，如图1，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用x表示∠BO1C＝ （60+x） °．如图2，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，则用x表示∠BO1C＝ （+x） °．
解：∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，
∴∠O1BC＝∠ABC，∠O1CB＝∠ACB，
∴∠O1BC＝∠ABC，∠O1CB＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠O1BC+∠O1CB＝180°，
∴∠O1BC+∠O1CB＝（180°﹣∠A），
∵∠BOC＝180°﹣（∠O1BC+∠O1CB）＝60°+∠A，
∵∠A＝x°，
∴∠BO1C＝（60+x）°；
可得规律为：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On﹣1，
则用x表示∠BO1C＝（+x）°．
故答案为：（60+x）；（+x）．
20．（2分）（2023秋•高青县期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一点，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在BD上截取BF＝DE，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得△BDE的面积为 64 ．
解：如图所示，连接AF，
∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∵∠ABD＝∠C，
∵∠E＝∠C，
∵∠ABD＝∠E，
在△ABF与△BED中，
，
∴△ABF≌△BED（SAS），
∴S△ABF＝S△BDE，
∵，
∵BF＝×20＝8，
∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12，
∴S△AFD＝×AD•DF＝×12×16＝96，
∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD，
∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64．
故答案为：64．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•西湖区期末）如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一条直线上，已知∠B＝∠DEF，BE＝CF．下面给出四个条件：①AC＝DF；②AB＝DE；③AC∥DF；④∠A＝∠D．请你从中任选一个条件，使得△ABC≌△DEF，并写出证明过程．
解：选一个条件；②AB＝DE（答案不唯一），理由如下：
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC≌△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
22．（6分）（2023秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD为△ABC的角平分线．以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF．
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝70°，求∠BDE的度数．
（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
由作图知：AE＝AF．
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝70°，AD为△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠BAC＝35°，
由作图知：AE＝AD．
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝×（180°﹣35°）＝72.5°，
∵AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC．
∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝17.5°．
23．（8分）（2023秋•新宾县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D．
（1）求证：△ADC≌△CEB．
（2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度．
（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等），
在△ADC与△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB，
则AD＝CE＝5cm，CD＝BE．
∵CD＝CE﹣DE，
∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），
即BE的长度是2cm．
24．（8分）（2023秋•潍城区期末）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在边BC上运动（与B，C不重合），点E、F分别在边AB，AC上，且始终有DB＝DE，DC＝DF，连接BF，CE，设BF与CE交于点G．
（1）求证：BF＝CE；
（2）若∠BAC＝50°，随着点D的运动，∠EGF的大小是否为定值？如果是定值，请求出∠EGF的度数；如果不是定值，请说明理由．
（1）证明：设∠ABC＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝α，
∵DB＝DE，DC＝DF，
∴∠DEB＝∠ABC＝α，∠DFC＝∠ACB＝α，
∴∠BDE＝180°﹣（∠DEB+∠ABC）＝180°﹣2α，∠CDF＝180°﹣（∠DFC+∠ACB）＝180°﹣2α，
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDE+∠EDF＝∠CDF+∠EDF，
即∠BDF＝∠EDC，
在△BDF和△EDC中，
，
∴△BDF≌△EDC（SAS），
∴BF＝CE；
（2）若∠BAC＝50°，随着点D的运动，∠EGF的大小为定值．
设∠DBF＝β，∠DCE＝θ，
由（1）可知：△BDF≌△EDC，
∴∠DEC＝∠DBF＝β，∠DFB＝∠DCE＝θ，
∵AB＝AC，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣50°）＝65°，
即∠ABC＝∠ACB＝α＝65°，
由（1）可知：∠BDE＝180°﹣2α＝50°，∠CDF＝180°﹣2α＝50°，
∴∠EDF＝180°﹣∠BDE﹣∠CDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝50°+80°＝130°，
∴∠DBF+∠DFB＝180°﹣∠BDF＝180°﹣130°＝50°，
即β+θ＝50°，
∵∠AEC＝∠ABC+∠DCE＝65°+θ，∠AFB＝∠ACB+∠DBF＝65°+β，
∴∠AEC+∠AFB＝65°+θ+65°+β＝130°+β+θ＝180°，
在四边形AEGF中，∠AEC+∠AFB+∠BAC+∠EGF＝360°，
∴180°+50°+∠EGF＝360°，
∴∠EGF＝130°．
即随着点D的运动，∠EGF＝130°为定值．
25．（8分）（2023秋•临江市期末）如图所示，BD、CE是△ABC高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB．
（1）判断：∠1 ＝ ∠2（用“＞”、“＜”、“＝”填空）；
（2）探究：PA与AQ之间的关系；
（3）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，试探究PA与AQ之间的关系，请画出图形并直接写出结论．
解：（1）设CE、BD交于F，
∵BD、CE是△ABC高，
∴∠BEF＝∠CDF＝90°，
∵∠BFE＝∠CFD，
∴∠1＝180°﹣∠BEF﹣∠BFE＝90°﹣∠BFE，∠2＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝90°﹣∠CDF，
∴∠1＝∠2；
故答案为：＝；
（2）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ，
证明：∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
而∠DAP+∠P＝90°，
∴∠DAP+∠QAC＝90°，
即∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP；
即AP＝AQ，AP⊥AQ；
（3）上述结论成立，理由如下：
如图所示：
∵BD、CE是△ABC的高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°，
∵∠CAE＝∠DAB，
∴∠1＝∠2，
在△QAC和△APB中，
，
∴△QAC≌△APB（SAS），
∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P，
∵∠PDA＝90°，
∴∠P+∠PAD＝90°，
∴∠QAC+∠PAD＝90°，
∴∠QAP＝90°，
∴AQ⊥AP，
即AP＝AQ，AP⊥AQ．
26．（8分）（2023秋•邹平市校级期末）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使点A落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是 ∠1＝2∠A ．
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是 ∠1+∠2＝2∠A ；
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠A＝∠DA′A，
∵∠1＝∠A+∠DA′A，
∴∠1＝2∠A；
故答案为：∠1＝2∠A；
（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；
故答案为：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠DAE，理由是：
∵∠2＝∠AFE+∠DAE，∠AFE＝∠A′+∠1，
∴∠2＝∠A′+∠DAE+∠1，
∵∠DAE＝∠A′，
∴∠2＝2∠DAE+∠1，
∴∠2﹣∠1＝2∠DAE．
故答案为：（1）∠1＝2∠A；
（2）∠1+∠2＝2∠A．
（3）∠2﹣∠1＝2∠DAE．
27．（8分）（2023秋•望城区期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．
（1）求BO的长；
（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．
解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，
∴∠ACD＝∠AOE，
∴∠BOD＝∠ACD．
又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，
∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），
∴BO＝AC＝6．
（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，
∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．
②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．
∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，
∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．
∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，
∴t＝4t﹣6，解得t＝2．
综上，t＝1.2或2．
28．（8分）（2022秋•濮阳县校级期末）感知：如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE度数；
探究：如图②，在△ABC中，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC，其他条件不变，求∠DFE的度数”；
拓展：如图③，若把△ABC变成四边形ABEC，把AE⊥BC变成EA平分∠BEC，其他条件不变，∠DAE的度数是否变化，并且说明理由．
解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝70°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝35°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝15°．
（2）同（1），可得，∠ADE＝75°，
∵FE⊥BC，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝15°．
（3）结论：∠DAE的度数大小不变．
证明：∵AE平分∠BEC，
∴∠AEB＝∠AEC，
∴∠C+∠CAE＝∠B+∠BAE，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∠BAE＝∠BAD+∠DAE，
∴∠C+∠CAD﹣∠DAE＝∠B+∠BAD+∠DAE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴2∠DAE＝∠C﹣∠B＝30°，
∴∠DAE＝15°