第5章《生活中的轴对称》【培优讲练】-2023-2024学年北师大版数学七年级下册章节复习讲义

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1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.
2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.
3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.
4.能按照要求，画出一些轴对称图形.
知识点01：轴对称
【高频考点精讲】
1.轴对称图形和轴对称
（1）轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
（2）轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
【易错点剖析】成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.
（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系
【易错点剖析】 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【易错点剖析】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
3.角平分线
角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的 \t "" 距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.
【易错点剖析】 前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.
知识点02：作轴对称图形
【高频考点精讲】
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
知识点03：等腰三角形
【高频考点精讲】
1.等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

【易错点剖析】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ．
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等 边”）.
【易错点剖析】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．
2.等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
【易错点剖析】由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.53
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝62°，∠C＝51°，点D在BC上，分别以AB，AC为对称轴，画出点D的对称点E，F，连结AE，AF，则∠EAF的度数为（ ）
A．113°B．124°C．129°D．134°
2．（2分）（2023秋•双辽市期末）如图，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，点M从点A出发以每秒2cm的速度向点C运动，点N从点C出发以每秒1.6cm的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当△CMN是以MN为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
3．（2分）（2023秋•新宾县期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2分）（2023秋•枣阳市期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
5．（2分）（2023秋•汉阳区期末）如图，△ABC的面积为6，AB＝5，AD平分∠BAC．若E，F分别是AC，AD上的动点，则FE+FC的最小值（ ）
A．B．C．D．3
6．（2分）（2023秋•新宾县期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2分）（2023秋•梨树县期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为（ ）
A．16B．32C．64D．128
8．（2分）（2023秋•恩施市期末）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AC的垂线，垂足为H，若BC＝3，AB＝4，AC＝5，那么IH的值为（ ）
A．1B．C．2D．
9．（2分）（2023秋•赤壁市期末）如图，△ABC中，点D是BC上一点，将△ABD沿着AD翻折，得到△ADE，AE交BC于点F．若AE⊥BC，点D到AB的距离等于（ ）
A．DFB．DBC．DCD．CF
10．（2分）（2023秋•凤山县期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若AD＝3，△ABC的周长为15，则△ACE的周长是 ．
12．（2分）（2023秋•江汉区期末）如图，长方形纸片ABCD，E为边AD上一点，将纸片沿EB，EC折叠，点A落在A′位置，点D落在D'位置，若∠A'ED'＝10°，则∠BEC＝ °．
13．（2分）（2023秋•东城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为 ．
14．（2分）（2023秋•浑江区期末）如图（1）是长方形纸带，∠DEF＝m，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE度数 （用含m的代数式表示）．
15．（2分）（2023秋•韶关期末）如图，在△ABC中，沿DE折叠，点A落在三角形所在的平面内的点为A1，若∠A＝30°，∠BDA1＝80°，则∠CEA1的度数为 ．
16．（2分）（2023秋•藁城区期末）如图，∠MAN是一个钢架，∠MAN＝5°，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如CD、DE、EF⋯⋯若焊接的钢管的长度都与AC的长度相等，则最多能焊接 根．
17．（2分）（2023秋•宁河区期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，EF垂直平分AB，交AB于点E，交BC于点F，G是线段EF上的一动点，若△ABC的面积是6cm2，BC＝6cm，则△ADG的周长最小为 cm．
18．（2分）（2023秋•惠州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是 ．
19．（2分）（2023秋•江门期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝ ．
20．（2分）（2022春•菏泽期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•大埔县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，延长BC到点D，使得CD＝CA，连接AD，若∠D＝25°，求∠BAC的度数．
22．（6分）（2023秋•东丰县期末）如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE．
（1）若△ADE的周长是11，DE＝2，求△ABE的周长；
（2）若∠A＝23°，BE＝BC，求∠C的度数．
23．（8分）（2023秋•富锦市校级期末）如图，在正方形网格上的一个△ABC，且每个小正方形的边长为1（其中点A，B，C均在网格上）．
（1）作△ABC关于直线MN的轴对称图形△A′B′C′；
（2）在MN上画出点P，使得PA+PC最小；
（3）求出△ABC的面积．
24．（8分）（2023秋•溧阳市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，请用尺规作图画出图形，并直接写出CD的长．
25．（8分）（2023秋•新丰县期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，BE是AC边上的高，垂足为E，设∠BAC＝α．
（1）探究与发现
①如图1，若α＝30°，则∠C的度数为 ，∠DBE的度数为 ；
②如图2，若α＝80°，则∠DBE的度数为 ；
③试探究∠BDC与α的数量关系，并说明理由．
（2）拓展与思考
如图3，∠BDC的平分线DF交BC于点F．当DF∥AB时，求∠DBE的度数．
26．（8分）（2023春•金牛区校级期中）直线MN与直线PQ垂直相交于点C，点A在射线CP上运动（点A不与点C重合），点B在射线CN上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AD、CD分别是∠BAC和∠ACB的角平分线，
①当∠ABC＝60°时，求∠ADC的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠ADC的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠ADC的大小．
如图2，将△ABC沿AD所在直线折叠，点B落在PQ的点F处，折痕与MN交于点E，连接DF、EF，在△CDF中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．
27．（8分）（2022秋•永年区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．
求证：（1）∠EAD＝∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC＝∠B．
28．（8分）（2022春•建平县期末）如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明AE∥BC的理由；
（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．