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第5章《分式与分式方程》【培优讲练】-2023-2024学年北师大版数学八年级下册章节复习讲义
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1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合实际情况，分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握方程的解法，体会解方程中的化归思想．
知识点01：分式的有关概念及性质
【高频考点精讲】
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简.
知识点02：分式的运算
【高频考点精讲】
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
QUOTE ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
知识点03：分式方程
【高频考点精讲】
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.
【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
知识点04：分式方程的应用
【高频考点精讲】列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.50
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•东莞市期末）若将分式中的x，y都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍B．缩小为原来的
C．缩小为原来的D．不改变
2．（2分）（2023秋•连山区期末）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）（2023秋•浑江区期末）甲乙两人骑自行车从相距S千米的两地同时出发，若同向而行，经过a小时甲追上乙；若相向而行，经过b小时甲、乙相遇．设甲的速度为v1千米/时，乙的速度为v2千米/时，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）（2023秋•柘城县期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝﹣
5．（2分）（2023秋•惠州期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）（2023秋•商丘期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）（2023秋•林州市期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣3D．3
8．（2分）（2023秋•浦北县期末）一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km，所用时间与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，设江水的流速为vkm/h，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2分）（2023秋•右玉县期末）若分式，则分式的值等于（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
10．（2分）（2020秋•云阳县期末）若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0B．1C．2D．5
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•崇川区期末）若关于x的方程+＝5的解为正数，则m的取值范围是 ．
12．（2分）（2023秋•柘城县期末）若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为 ．
13．（2分）（2023秋•商丘期末）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ．
14．（2分）（2023秋•渝中区校级期末）若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的a的值之和为 ．
15．（2分）（2023秋•綦江区期末）若整数m既能使关于x的不等式组有解，也能使关于y的分式方程 有整数解，则整数m的值为 ．
16．（2分）（2023秋•靖宇县期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝ ．
17．（2分）（2023秋•汉阳区期末）实数a、b满足ab＝1，记M＝+，N＝+，则M，N大小关系 ．
18．（2分）（2023秋•江汉区期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为 ．
19．（2分）（2021秋•宁远县期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是 ．
20．（2分）（2022春•衡阳县期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•南昌期末）先化简，再求值：，其中x＝3．
22．（6分）（2023秋•潮南区校级期末）下面是一位同学化简代数式的解答过程：
（1）这位同学的解答，在第 步出现错误．
（2）请你写出正确的解答过程，并求出当x＝4时，原式的值．
23．（8分）（2023秋•监利市期末）某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用 2 400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元．
（1）该商店第一次购进这种水果多少千克？
（2）假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于950元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？
24．（8分）（2023秋•南昌期末）甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的脐橙．甲超市销售方案是：将脐橙按大小分类包装销售，其中大脐橙300千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小脐橙以高于进价的20%销售．乙超市的销售方案是：不将脐橙按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大小两种脐橙售价的平均数定价，若两超市将脐橙全部销售，其中甲超市获得2040元（其他成本不计）．
（1）脐橙进价为每千克多少元？
（2）乙超市获得多少元？并比较哪种销售方式更合算．
25．（8分）（2023秋•河东区期末）为了我市创建全国文明城市，区里积极配合，计划将西区道路两旁的人行道进行改造，经调查知：若该工程由甲工程队单独做刚好在规定时间内完成；若该工程由乙工程队单独完成，则所需天数是规定时间的1.5倍，如果甲、乙两工程队合作20天后，那么余下的工程由乙工程队单独来做还需10天才能完成．
（1）问：区里完成这项工程规定的时间是多少天？
（2）已知甲工程队做一天需付给工资4万元，乙工程队做一天需付给工资3万元．现该工程由甲、乙两工程队合做来完成，区里准备了工程工资款170万元，请问区里准备的工程工资款是否够用？
26．（8分）（2022秋•岳池县期末）福州京东快递仓库使用机器人分练货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人工作效的20倍，若用一台机器人分拣6000件货物，比原先30名工人分拣这些货物只多用小时．
（1）求一台机器人一小时可分拣多少件货物？
（2）此仓库元旦前夕收到货物68万件，为了在6小时内分拣完所有货物，公司调配了20台机器人和20名工人，工作3小时后，又调配了15名机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由．
27．（8分）（2023秋•凤山县期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
28．（8分）（2023春•玄武区校级期中）深化理解：阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴解得：．
∴＝x﹣2+．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 ；
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．
解：原式＝①
＝②
＝③
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合实际情况，分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握方程的解法，体会解方程中的化归思想．
知识点01：分式的有关概念及性质
【高频考点精讲】
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
【易错点剖析】分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子、分母中含有公因式，要进行约分化简.
知识点02：分式的运算
【高频考点精讲】
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
QUOTE ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
知识点03：分式方程
【高频考点精讲】
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.
【易错点剖析】因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
知识点04：分式方程的应用
【高频考点精讲】列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.50
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•东莞市期末）若将分式中的x，y都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍B．缩小为原来的
C．缩小为原来的D．不改变
2．（2分）（2023秋•连山区期末）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）（2023秋•浑江区期末）甲乙两人骑自行车从相距S千米的两地同时出发，若同向而行，经过a小时甲追上乙；若相向而行，经过b小时甲、乙相遇．设甲的速度为v1千米/时，乙的速度为v2千米/时，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）（2023秋•柘城县期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝﹣
5．（2分）（2023秋•惠州期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）（2023秋•商丘期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2分）（2023秋•林州市期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（ ）
A．2B．﹣2C．﹣3D．3
8．（2分）（2023秋•浦北县期末）一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h，它以最大航速沿江顺流航行120km，所用时间与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，设江水的流速为vkm/h，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2分）（2023秋•右玉县期末）若分式，则分式的值等于（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
10．（2分）（2020秋•云阳县期末）若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．0B．1C．2D．5
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•崇川区期末）若关于x的方程+＝5的解为正数，则m的取值范围是 ．
12．（2分）（2023秋•柘城县期末）若三角形的三边为4、7、x且x是关于x的方程的解，则a的范围为 ．
13．（2分）（2023秋•商丘期末）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ．
14．（2分）（2023秋•渝中区校级期末）若整数a使关于x的不等式组无解，且使关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的a的值之和为 ．
15．（2分）（2023秋•綦江区期末）若整数m既能使关于x的不等式组有解，也能使关于y的分式方程 有整数解，则整数m的值为 ．
16．（2分）（2023秋•靖宇县期末）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝ ．
17．（2分）（2023秋•汉阳区期末）实数a、b满足ab＝1，记M＝+，N＝+，则M，N大小关系 ．
18．（2分）（2023秋•江汉区期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为 ．
19．（2分）（2021秋•宁远县期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是 ．
20．（2分）（2022春•衡阳县期末）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且关于y的分式方程+＝﹣1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•南昌期末）先化简，再求值：，其中x＝3．
22．（6分）（2023秋•潮南区校级期末）下面是一位同学化简代数式的解答过程：
（1）这位同学的解答，在第 步出现错误．
（2）请你写出正确的解答过程，并求出当x＝4时，原式的值．
23．（8分）（2023秋•监利市期末）某商店用1000元人民币购进某种水果销售，过了一周时间，又用 2 400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的价格贵了2元．
（1）该商店第一次购进这种水果多少千克？
（2）假设该商店两次购进的这种水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进的这种水果全部售完，利润不低于950元，则每千克这种水果的标价至少是多少元？
24．（8分）（2023秋•南昌期末）甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的脐橙．甲超市销售方案是：将脐橙按大小分类包装销售，其中大脐橙300千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小脐橙以高于进价的20%销售．乙超市的销售方案是：不将脐橙按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大小两种脐橙售价的平均数定价，若两超市将脐橙全部销售，其中甲超市获得2040元（其他成本不计）．
（1）脐橙进价为每千克多少元？
（2）乙超市获得多少元？并比较哪种销售方式更合算．
25．（8分）（2023秋•河东区期末）为了我市创建全国文明城市，区里积极配合，计划将西区道路两旁的人行道进行改造，经调查知：若该工程由甲工程队单独做刚好在规定时间内完成；若该工程由乙工程队单独完成，则所需天数是规定时间的1.5倍，如果甲、乙两工程队合作20天后，那么余下的工程由乙工程队单独来做还需10天才能完成．
（1）问：区里完成这项工程规定的时间是多少天？
（2）已知甲工程队做一天需付给工资4万元，乙工程队做一天需付给工资3万元．现该工程由甲、乙两工程队合做来完成，区里准备了工程工资款170万元，请问区里准备的工程工资款是否够用？
26．（8分）（2022秋•岳池县期末）福州京东快递仓库使用机器人分练货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人工作效的20倍，若用一台机器人分拣6000件货物，比原先30名工人分拣这些货物只多用小时．
（1）求一台机器人一小时可分拣多少件货物？
（2）此仓库元旦前夕收到货物68万件，为了在6小时内分拣完所有货物，公司调配了20台机器人和20名工人，工作3小时后，又调配了15名机器人进行增援，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由．
27．（8分）（2023秋•凤山县期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
28．（8分）（2023春•玄武区校级期中）深化理解：阅读下列材料，并解答问题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b；
则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b．
∵对于任意x上述等式成立，
∴解得：．
∴＝x﹣2+．
这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 ；
（2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值．
解：原式＝①
＝②
＝③
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