第5章《分式与分式方程》【易错题拔高卷】-2023-2024学年北师大版数学八年级下册章节复习检测卷

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考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.47
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2023秋•邢台期末）要使分式的值扩大4倍，x、y的取值可以如何变化（ ）
A．x的值不变，y的值扩大4倍
B．y的值不变，x的值扩大4倍
C．x、y的值都扩大4倍
D．x、y的值都扩大2倍
解：A、＝，故A不符合题意；
B、＝，故B不符合题意；
C、＝＝，故C符合题意；
D、＝＝，故D不符合题意；
故选：C．
2．（2分）（2023秋•柘城县期末）下列等式中，从左向右的变形正确的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝﹣
解：A：＝﹣，∴不符合题意；
B：，∴不符合题意；
C：＝＝，∴符合题意；
D：＝﹣，∴不符合题意；
故选：C．
3．（2分）（2023秋•崇川区期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A．B．C．D．
解：∵＝﹣，
故选：C．
4．（2分）（2023秋•莱州市期末）下列四个分式的运算中，其中运算结果正确的有（ ）
①+＝；②a÷b×＝a
③；④
A．3个B．2个C．1个D．0个
解：①+＝，故①不正确；
②a÷b×＝a••＝，故②不正确；
③，故③正确；
④＝＝a+b，故④不正确；
所以，上列四个分式的运算中，其中运算结果正确的有1个，
故选：C．
5．（2分）（2023春•渭滨区期末）下列等式不成立的是（ ）
A．＝（c≠0）B．＝（m≠0）
C．＝D．＝
解：A、原变形正确，故此选项不符合题意；
B、原变形正确，故此选项不符合题意；
C、必须规定c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；
D、原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
6．（2分）（2023秋•纳溪区期末）已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m≥﹣1且m≠0D．m≥﹣1
解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，
即x＝m+1，
由分式方程的解为非负数，得到
m+1≥0，且m+1≠1，
解得：m≥﹣1且m≠0，
故选：C．
7．（2分）（2023春•兴化市月考）解分式方程，去分母后得到（ ）
A．x＝2+3B．x＝2（x﹣1）+3
C．x（x﹣1）＝2+3（x﹣1）D．x＝3（x﹣1）+2
解：去分母得：x＝2（x﹣1）+3，
故选：B．
8．（2分）（2023•雨城区校级模拟）若关于x的方程+1＝的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：将分式方程去分母得：
a（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x+1）
解得：x＝﹣2a﹣1
∵解为负数
∴﹣2a﹣1＜0
∴a＞﹣
∵当x＝1时，a＝﹣1；x＝﹣1时，a＝0，此时分式的分母为0，
∴a＞﹣，且a≠0；
将不等式组整理得：
∵不等式组无解
∴a≤2
∴a的取值范围为：﹣＜a≤2，且a≠0
∴满足条件的整数a的值为：1，2
∴所有满足条件的整数a的值之积是2．
故选：C．
9．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知关于x的分式方程﹣＝2的解为整数，且关于y的不等式组有且只有四个整数解，则符合条件的整数m的和为（ ）
A．﹣15B．﹣12C．﹣10D．﹣7
解：﹣＝2，
5+m＝2（x﹣3），
解得：x＝，
∵分式方程的解为整数，
∴为整数且≠3，
∴为整数且m≠﹣5，
，
解不等式①得：y＜，
解不等式②得：y≥﹣5，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴﹣2＜≤﹣1，
解得：﹣8＜m≤﹣3，
综上所述：符合条件的整数m的值为：﹣7，﹣3，
符合条件的整数m的和为：﹣10，
故选：C．
10．（2分）（2023春•宣汉县校级期末）已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组，恰好有三个整数解，则所有满足条件的整数a的和是（ ）
A．1B．3C．4D．6
解：关于x的分式方程解为x＝2a﹣1，
∵x解为正数，
∴2a﹣1＞0，
∴a＞，
关于y的不等式组解为，
∵y恰有三个整数解，
∴0＜≤1，
∴﹣1＜a≤3，
分式方程中，x≠3，
∴2a﹣1≠3，
∴a≠2，
综上所述：＜a≤3，
∴满足条件的整数a为：1、3，
则所有满足条件的整数a的和是4．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023秋•海淀区校级期末）若关于x的方程＝8的解为x＝，则m＝ 4 ．
解：分式方程去分母得：mx+1＝8x，
根据题意将x＝代入方程得：m+1＝2，
解得：m＝4．
故答案为：4
12．（2分）（2023秋•怀化期末）已知关于x的方程＝+m有增根，则增根x＝ 2 ．
解：＝+m，
＝﹣+m，
∵方程有增根，
∴3（x﹣2）＝0，
∴x＝2，
∴增根x＝2，
故答案为：2．
13．（2分）（2022秋•莘县期末）已知S1＝a+1（a不取0和﹣1），S2＝，S3＝，S4＝，…按此规律，请用含a的代数式表示S2022＝ ．
解：∵S1＝a+1（a不取0和﹣1），
∴S2＝＝＝﹣，
S3＝＝＝，
S4＝＝＝a+1，
..．
∴每3个数一循环，
∴2022÷3＝674，
∴S2022＝，
故答案为：．
14．（2分）（2023秋•东安县期中）已知关于x的方程无解，则k的值为 ﹣3或1 ．
解：，
x﹣4﹣k（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝﹣k，
∴（k+3）x＝4k+8，
分两种情况：
当k+3＝0时，k＝﹣3，
当x﹣3＝0时，x＝3，
把x＝3代入（k+3）x＝4k+8中可得：
3（k+3）＝4k+8，
∴k＝1，
综上所述：k的值为：﹣3或1，
故答案为：﹣3或1．
15．（2分）（2023秋•昌吉州期末）对于实数a，b定义一种新运算“⊗”：a⊗b＝，例如，1⊗3＝＝﹣．则方程x⊗2＝﹣1的解是 x＝5 ．
解：根据题中的新定义，化简得：＝﹣1，
去分母得：1＝2﹣x+4，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是分式方程的解，
故答案为：x＝5．
16．（2分）（2023•洪雅县模拟）关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是 a＞﹣5且a≠3 ．
解：原分式方程可化为：+1＝，
x﹣3+x﹣2＝﹣2x+a，
解得x＝，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴，
解得：a＞﹣5且a≠3．
故答案为：a＞﹣5且a≠3．
17．（2分）（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
解：由题意得：
＝1，
解得：x＝．
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝．
故答案为：．
18．（2分）（2022春•八步区期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是 3或1 ．
解：去分母，得：ax＝3+x﹣1，
整理，得：（a﹣1）x＝2，
当x＝1时，分式方程无解，
则a﹣1＝2，
解得：a＝3；
当整式方程无解时，a＝1，
故答案为：3或1．
19．（2分）（2023秋•綦江区期末）若整数m既能使关于x的不等式组有解，也能使关于y的分式方程 有整数解，则整数m的值为 ﹣1 ．
解：解关于x的不等式组得：，
∵不等式组有解，
∴m﹣3＜﹣1，
解得：m＜2，
解关于y的分式方程 得：y＝，
∵y≠3，m≠2，
∴≠3，m≠2，
∴m≠1且m≠2，
∵为整数，且m为整数，
∴m＝﹣1，
∴整数m的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
20．（2分）（2023秋•公主岭市期末）小聪的妈妈每个月给她m元零花钱，她计划每天用a元（用于吃早点，乘车）刚好用完，而实际她每天节约b元钱，则她实际可以比原计划多用 天才全部消费完．
解：依题意得：．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023秋•苏州期末）计算：
（1）﹣；
（2）÷（1﹣）．
解：（1）﹣
＝
＝
＝
＝
＝2；
（2）÷（1﹣）
＝÷
＝÷
＝•
＝．
22．（6分）（2023秋•凉州区期末）先化简：，再从﹣3，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
解：
＝•
＝•
＝，
∵x+3≠0，x﹣1≠0，
∴x≠﹣3，x≠1，
∴当x＝2时，原式＝＝2．
23．（8分）（2023春•寿宁县期中）阅读下列材料：求分式方程的解，不妨设k＝ab，m＝a+b，可得x1＝a，x2＝b是该分式方程的解．例如：求分式方程的解，可发现k＝6＝（﹣2）×（﹣3），m＝﹣5＝（﹣2）+（﹣3），容易检验x1＝﹣2，x2＝﹣3是该方程的解．根据以上材料回答下列问题：
（1）求分式方程的解；
（2）若x1＝m，x2＝n是分式方程的两个解，求的值；
（3）设a为常数且a≠0，若关于x的分式方程的两个解分别为x1，x2，求的值．
解：（1）可化为x+＝（﹣1）+（﹣5），
∴x1＝﹣1，x2＝﹣5．
经检验x1＝﹣1，x2＝﹣5是该方程的解．
（2）由已知得mn＝﹣3，m+n＝4，
∴+
＝
＝
＝﹣．
（3）原方程变为x+1+＝a+（a+2），
∴x1+1＝a，x2+1＝a+2，
∴x1＝a﹣1，x2＝a+1，
∴x1﹣x2＝a﹣1﹣（a+1）＝﹣2，
∴＝（﹣2）2＝4．
24．（8分）（2023春•驿城区期末）王勿桥伏陈醋是驻马店市正阳县王勿桥乡的一大特产，此醋浓厚醇厚，香而微甜，有三绝举世称奇：第一绝是不搅自酸；第二绝是永不腐坏；第三绝是扶胃降压．某商家购进A，B两种型号的伏陈醋，每斤A型号伏陈醋比每斤B型号伏陈醋贵0.5元，花90元购进A型号伏陈醋的质量与花80元购进B型号伏陈醋的质量相同．
（1）分别求A，B两种型号伏陈醋的单价；
（2）该商家计划用不超过3350元购进A，B两种型号伏陈醋共800斤，求至少应购进B型号伏陈醋多少斤？
解：（1）由题意，设B型号伏陈醋单价为x元/斤，则A型号伏陈醋单价为（x+0.5）元/斤．
∴．
∴解得x＝4．
经检验，x＝4是原方程的解．
∴x+0.5＝4.5（元/斤），
答：A，B两种型号伏陈醋的单价分别为4.5元/斤、4元/斤．
（2）由题意，设购进B型号伏陈醋a斤，则购进A型号伏陈醋（800﹣a）斤．
∴4a+4.5（800﹣a）⩽3350．
∴解得a⩾500．
答：至少应购进B型号伏陈醋500斤．
25．（8分）（2022秋•如东县期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，＝，所以是的“关联分式”．
（1）已知分式，则 是 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为N，则×N，
∴，
∴N＝．
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”．
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： ；
②用发现的规律解决问题：
若是的“关联分式”，求实数m，n的值．
解：（1）∵﹣＝＝，
×＝，
∴是的关联分式．
故答案为：是．
（2）设的关联分式是N，则：
﹣N＝•N．
∴（+1）•N＝．
∴•N＝．
∴N＝．
（3）①由（2）知：的关联分式为：÷（+1）＝．
故答案为：．
②由题意得：．
∴．
∴m＝﹣，n＝．
26．（8分）（2023秋•凤山县期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
27．（8分）（2023秋•潮州期末）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作 （20﹣） 天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；
（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，
+＝1，
解得：x＝30，
经检验x＝30是原方程的解．
∴x+30＝60，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；
（2）（1﹣）÷（+）＝（20﹣）天；
故答案为：（20﹣）；
（3）设甲单独做了y天，
y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，
解得：y≥36
答：甲工程队至少要单独施工36天．
28．（8分）（2021秋•上思县期末）为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，
依题意得：+＝1，
解得x＝20，
检验，当x＝20时，3x≠0，
所以原方程的解为x＝20．
所以3x＝3×20＝60（天）．
答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天；
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有y（+）＝1，
解得y＝15．
需要施工的费用：15×（15.6+18.4）＝510（万元）．
∵510＞500，
∴工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元