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第6章《平行四边形》【培优讲练】-2023-2024学年北师大版数学八年级下册章节复习讲义
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这是一份第6章《平行四边形》【培优讲练】-2023-2024学年北师大版数学八年级下册章节复习讲义，文件包含第6章平行四边形教师版docx、第6章平行四边形学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共38页， 欢迎下载使用。
1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.
2.掌握三角形的中位线定理.
3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.
4.积累数学活动经验，发展推理能力.
=知识点01：平行四边形的定义
【高频考点精讲】
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
【易错点剖析】平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
知识点02：平行四边形的性质定理
【高频考点精讲】
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
【易错点剖析】（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点03：平行四边形的判定定理
【高频考点精讲】
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【易错点剖析】
（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个
行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
知识点04：平行线间的距离
【高频考点精讲】
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
知识点05：三角形的中位线
【高频考点精讲】
三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【易错点剖析】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点06：多边形内角和、外角和
【高频考点精讲】
边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
【易错点剖析】
(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•即墨区期末）下列说法正确的是（ ）
A．平角的度数是360°
B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短”
C．过某个多边形一个顶点最多有6条对角线，则这个多边形是九边形
D．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，利用的数学原理是“点动成线”
解：A、平角的度数是180°，故A不符合题意；
B、用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”，故B不符合题意；
C、过某个多边形一个顶点最多有6条对角线，则这个多边形是九边形，故C符合题意；
D、汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，利用的数学原理是“线动成面”，故D不符合题意．
故选：C．
2．（2分）（2023秋•河口区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，
∵∠DAB的平分线AE交CD于E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED．
∴ED＝AD＝6，
∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．
故选：C．
3．（2分）（2023秋•安州区期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240°B．360°C．540°D．720°
解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，
在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，
∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故选：B．
4．（2分）（2023秋•永春县期末）如图，在▱ABCD中，AD：AB＝3：4，AE平分∠DAB交CD于点E，交BD于点F，则的值是（ ）
A．3：4B．9：16C．4：3D．16：9
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB交CD于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝DE，
∵AD：AB＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
故选：A．
5．（2分）（2023秋•驻马店期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
6．（2分）（2023秋•东河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故选：C．
7．（2分）（2023秋•朝阳区校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，▱ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30B．25C．20D．15
解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF＝5，AE＝CF，
∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，
∵▱ABCD的周长为30，
∴2AB+2CB＝30，
∴AB+CB＝15，
∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25，
∴四边形ABFE的周长是25，
故选：B．
8．（2分）（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，
理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC•BC＝，
∴＝，
∴CM＝，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM＝＝，
即DE的最小值是，
故选：B．
9．（2分）（2023春•渠县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD＝； ②∠A＝∠BHE； ③AB＝BH； ④△BCF≌△DCE，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②④C．②③④D．①②③
解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝∠BDE＝45°，
∴BE＝DE，
∴BD＝BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH＝∠DEC＝90°，
∴∠BHE+∠HBE＝90°＝∠HBE+∠C，
∴∠C＝∠BHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝∠BHE，故②正确；
∵∠C+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠HBE，
在△BHE和△DCE中，
，
∴△BHE≌△DCE（ASA），
∴BH＝CD，故③正确，
在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，
∴△BCF与△DCE不全等，故④错误．
故选：D．
10．（2分）（2022秋•东平县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6B．C．7D．8
解：如图，
延长BD，交AC于F，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴BD＝DF，AF＝AB＝4，
∵BE＝CE，
∴CF＝2DE＝3，
∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，
故答案为：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•潍城区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC的上，添加一个条件使△BOE≌△DOF，这个条件可以是 OE＝OF（答案不唯一） （写出一个即可）．
解：添加OE＝OF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）．
故答案为：OE＝OF（答案不唯一）．
12．（2分）（2023秋•佳木斯期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 360° ．
解：∵∠BGH＝∠A+∠B，∠FHG＝∠C+∠D，∠GIF＝∠E+∠F，
又∵∠BGH+∠FHG+∠GIF＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．
13．（2分）（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 AE＝CF ．
解：添加条件为：AE＝CF，
理由：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
故答案为：AE＝CF．
14．（2分）（2023春•滨海新区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向平行四边形ABCD外构造平行四边形DGME，连接BM交AD于点N，连接FN．若DG＝DE＝2，∠ADC＝60°，则FN的长为 ．
解：如图所示，连接EF、AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC
∵点E，F分别是AD，BC边的中点，
∴AE＝DE＝BF＝CF，
∴四边形ABFE，CDEF是平行四边形，
∵DG＝DE＝2，DG＝DC，四边形DGME是平行四边形，
∴AE＝EF＝AB＝ME＝2，
∵EF∥CD，
∴∠AEF＝∠ADC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵ME∥CD，EF∥CD，
∴M、E、F三点共线，
∴MF∥AB，
∴∠MEN＝∠BAN，
在△EMN和△ABN中
，
∴△ABN≌△EMN（AAS），
∴AN＝NE，
∴，FN⊥AE，
∴，
故答案为：．
15．（2分）（2023秋•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 8 ．
解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
16．（2分）（2023秋•宁阳县期末）把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝ 32° ．
解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，
则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝32°．
故答案为：32°．
17．（2分）（2023春•西城区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB＝7，BC＝4，∠DAB＝60°，那么图中阴影部分的面积为 7 ．
解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△DEO＝S△BOF，
∴阴影部分面积等于△ACD的面积，即为▱ABCD面积的一半，
过点B作BP⊥CD于点P，
∵CD＝AB＝7，∠DAB＝60°，
∴CP＝3.5，BP＝，
∴S平行四边形ABCD＝CD•BP＝，
∴阴影部分面积为7，
故答案为：7．
18．（2分）（2023春•叙州区期末）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2022C2023B的面积为 cm2．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，
∴S△ADC＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10（cm2），
∴S△AOB＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5（cm2），
∴＝S△AOB＝×5＝（cm2），
∴＝＝（cm2），
＝＝（cm2），
＝＝（cm2），
……
∴平行四边形AOnCn+1B的面积为，
∴平行四边形AO2022C2023B的面积为（cm2），
故答案为：．
19．（2分）（2023春•海淀区校级期中）如图，△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，G、M、N分别是线段AE、AF、BD上的点，且GM∥BC，GN∥AB，GN与EF交于点K，如果四边形FKGM面积是2，四边形EKND的面积是3，则△GKE的面积是 ．
解：过A作AQ∥BC，延长DE交AQ于Q，延长NG交AQ于P，延长MG交QE于L，
∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DE，EF是△ABC的中位线，
∴EQ∥FA，EF∥BC，
∴EF∥AQ，
∴四边形AFEQ是平行四边形，
∵ML∥BC，NG∥AB，
∴四边形AMGP，四边形GKEL是平行四边形，
∴△AFE的面积＝△AQE的面积，△AMG的面积＝△APG的面积，△KGE的面积＝△LGE的面积，
∴平行四边形MFKG的面积＝平行四边形QPGL的面积＝2，
∵NK＝BF，PK＝AF，
∵AF＝BF，
∴NK＝PK，
∴平行四边形PKEQ的面积＝平行四边形NDEK的面积＝3，
∴平行四边形GKEL的面积＝3﹣2＝1，
∴△GKE的面积＝．
故答案为：．
20．（2分）（2023春•渠县期末）如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，AB＝7，AD＝10，则OP＝ 1.5 ．
解：延长DP交BC于Q，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，CD＝AB＝7，BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，∠ADP＝∠CQD，
∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
∴∠ADP＝∠CDQ＝∠ADC，∠DCP＝∠QCP＝∠BCD，
∴∠CQD＝∠CDQ，
∴CQ＝CD＝7，
∴BQ＝BC﹣CQ＝3，
∵∠CDQ+∠DCP＝（∠ADC+∠BCD）＝×180°＝90°，
∴CP⊥DQ，
∴DP＝QP，
∵OB＝OD，
∴OP是△BDQ的中位线，
∴OP＝BQ＝1.5，
故答案为：1.5．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•锦江区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝14，
∴OB＝OD＝7，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝．
22．（6分）（2023秋•未央区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，连接AE，过点C作CF⊥AD于点F，且AF＝CE．请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：四边形AECF是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠D＝∠B，
∵AF＝CE，
∴AD﹣AF＝CB﹣CE，
∴DF＝BE，
在△CDF和△ABE中，
，
∴△CDF和≌△ABE（SAS），
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵作CF⊥AD于点F，
∴∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
23．（8分）（2023秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠ACE，
∵AE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠AEC＝∠AFD＝90°，
在△ADF与△ACE中，
，
∴△ADF≌△ACE（AAS），
∴AE＝DF．
24．（8分）（2023秋•岱岳区期末）如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF．
求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
证明：（1）∵四边形BFDE是平行四边形，
∴∠BED＝∠DFB，BE＝DF，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE∥BF，DE＝BF，
∵AE＝CF，
∴AE+DE＝CF+BF，
即AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
25．（8分）（2023秋•河口区期末）如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．
（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．
（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点
∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，
∵∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∴BH＝DB＝2，
∴DH＝＝，
∵CF＝CB＝4，
∴S四边形DEFC＝CF•DH＝4×2＝8．
26．（8分）（2023秋•高青县期末）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN﹣EN＝4，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
27．（8分）（2023春•梁平区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠BDE，
∴AD∥EF，
又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）解：四边形AEGF是矩形，理由如下：
由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF＝DE，
∵EG＝DE，
∴AF∥DE，AF＝GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD＝AG，EG＝DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
28．（8分）（2021秋•仓山区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×4＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.
2.掌握三角形的中位线定理.
3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.
4.积累数学活动经验，发展推理能力.
=知识点01：平行四边形的定义
【高频考点精讲】
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
【易错点剖析】平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
知识点02：平行四边形的性质定理
【高频考点精讲】
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
【易错点剖析】（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点03：平行四边形的判定定理
【高频考点精讲】
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【易错点剖析】
（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个
行四边形时，应选择较简单的方法.
（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.
知识点04：平行线间的距离
【高频考点精讲】
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
知识点05：三角形的中位线
【高频考点精讲】
三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
【易错点剖析】（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点06：多边形内角和、外角和
【高频考点精讲】
边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
【易错点剖析】
(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2023秋•即墨区期末）下列说法正确的是（ ）
A．平角的度数是360°
B．用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点之间，线段最短”
C．过某个多边形一个顶点最多有6条对角线，则这个多边形是九边形
D．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，利用的数学原理是“点动成线”
解：A、平角的度数是180°，故A不符合题意；
B、用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线”，故B不符合题意；
C、过某个多边形一个顶点最多有6条对角线，则这个多边形是九边形，故C符合题意；
D、汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，利用的数学原理是“线动成面”，故D不符合题意．
故选：C．
2．（2分）（2023秋•河口区期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB＝8，BC＝6，则EC等于（ ）
A．1B．1.5C．2D．3
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝6．CD∥AB，
∵∠DAB的平分线AE交CD于E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠AED．
∴ED＝AD＝6，
∴EC＝CD﹣ED＝8﹣6＝2．
故选：C．
3．（2分）（2023秋•安州区期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240°B．360°C．540°D．720°
解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，
在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，
∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故选：B．
4．（2分）（2023秋•永春县期末）如图，在▱ABCD中，AD：AB＝3：4，AE平分∠DAB交CD于点E，交BD于点F，则的值是（ ）
A．3：4B．9：16C．4：3D．16：9
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB交CD于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴AD＝DE，
∵AD：AB＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
故选：A．
5．（2分）（2023秋•驻马店期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC＝14，
∴DE＝BC＝7，
∵∠AFB＝90°，AB＝8，
∴DF＝AB＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，
故选：B．
6．（2分）（2023秋•东河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故选：C．
7．（2分）（2023秋•朝阳区校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，▱ABCD的周长为30，直线EF过点O，且与AD，BC分别交于点E．F，若OE＝5，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．30B．25C．20D．15
解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF＝5，AE＝CF，
∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，
∵▱ABCD的周长为30，
∴2AB+2CB＝30，
∴AB+CB＝15，
∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25，
∴四边形ABFE的周长是25，
故选：B．
8．（2分）（2023秋•杜尔伯特县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
A．2B．C．3D．
解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，
理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AC•BC＝，
∴＝，
∴CM＝，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM＝＝，
即DE的最小值是，
故选：B．
9．（2分）（2023春•渠县期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD＝； ②∠A＝∠BHE； ③AB＝BH； ④△BCF≌△DCE，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②④C．②③④D．①②③
解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴∠DBE＝∠BDE＝45°，
∴BE＝DE，
∴BD＝BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH＝∠DEC＝90°，
∴∠BHE+∠HBE＝90°＝∠HBE+∠C，
∴∠C＝∠BHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C＝∠BHE，故②正确；
∵∠C+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠HBE，
在△BHE和△DCE中，
，
∴△BHE≌△DCE（ASA），
∴BH＝CD，故③正确，
在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，
∴△BCF与△DCE不全等，故④错误．
故选：D．
10．（2分）（2022秋•东平县期末）如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6B．C．7D．8
解：如图，
延长BD，交AC于F，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
在△ABD和△AFD中，
，
∴△ABD≌△AFD（ASA），
∴BD＝DF，AF＝AB＝4，
∵BE＝CE，
∴CF＝2DE＝3，
∴AC＝AF+CF＝4+3＝7，
故答案为：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023秋•潍城区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC的上，添加一个条件使△BOE≌△DOF，这个条件可以是 OE＝OF（答案不唯一） （写出一个即可）．
解：添加OE＝OF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（SAS）．
故答案为：OE＝OF（答案不唯一）．
12．（2分）（2023秋•佳木斯期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 360° ．
解：∵∠BGH＝∠A+∠B，∠FHG＝∠C+∠D，∠GIF＝∠E+∠F，
又∵∠BGH+∠FHG+∠GIF＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．
13．（2分）（2023秋•岳阳楼区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F．请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是 AE＝CF ．
解：添加条件为：AE＝CF，
理由：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，
∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
故答案为：AE＝CF．
14．（2分）（2023春•滨海新区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC边的中点，延长CD至点G，使DG＝CD，以DG，DE为边向平行四边形ABCD外构造平行四边形DGME，连接BM交AD于点N，连接FN．若DG＝DE＝2，∠ADC＝60°，则FN的长为 ．
解：如图所示，连接EF、AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC
∵点E，F分别是AD，BC边的中点，
∴AE＝DE＝BF＝CF，
∴四边形ABFE，CDEF是平行四边形，
∵DG＝DE＝2，DG＝DC，四边形DGME是平行四边形，
∴AE＝EF＝AB＝ME＝2，
∵EF∥CD，
∴∠AEF＝∠ADC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵ME∥CD，EF∥CD，
∴M、E、F三点共线，
∴MF∥AB，
∴∠MEN＝∠BAN，
在△EMN和△ABN中
，
∴△ABN≌△EMN（AAS），
∴AN＝NE，
∴，FN⊥AE，
∴，
故答案为：．
15．（2分）（2023秋•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 8 ．
解：∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
16．（2分）（2023秋•宁阳县期末）把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝ 32° ．
解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，
则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝32°．
故答案为：32°．
17．（2分）（2023春•西城区校级期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB＝7，BC＝4，∠DAB＝60°，那么图中阴影部分的面积为 7 ．
解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△DEO＝S△BOF，
∴阴影部分面积等于△ACD的面积，即为▱ABCD面积的一半，
过点B作BP⊥CD于点P，
∵CD＝AB＝7，∠DAB＝60°，
∴CP＝3.5，BP＝，
∴S平行四边形ABCD＝CD•BP＝，
∴阴影部分面积为7，
故答案为：7．
18．（2分）（2023春•叙州区期末）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，则平行四边形AO2022C2023B的面积为 cm2．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，DC∥AB，DC＝AB，
∴S△ADC＝S△ABC＝S矩形ABCD＝×20＝10（cm2），
∴S△AOB＝S△BCO＝S△ABC＝×10＝5（cm2），
∴＝S△AOB＝×5＝（cm2），
∴＝＝（cm2），
＝＝（cm2），
＝＝（cm2），
……
∴平行四边形AOnCn+1B的面积为，
∴平行四边形AO2022C2023B的面积为（cm2），
故答案为：．
19．（2分）（2023春•海淀区校级期中）如图，△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，G、M、N分别是线段AE、AF、BD上的点，且GM∥BC，GN∥AB，GN与EF交于点K，如果四边形FKGM面积是2，四边形EKND的面积是3，则△GKE的面积是 ．
解：过A作AQ∥BC，延长DE交AQ于Q，延长NG交AQ于P，延长MG交QE于L，
∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DE，EF是△ABC的中位线，
∴EQ∥FA，EF∥BC，
∴EF∥AQ，
∴四边形AFEQ是平行四边形，
∵ML∥BC，NG∥AB，
∴四边形AMGP，四边形GKEL是平行四边形，
∴△AFE的面积＝△AQE的面积，△AMG的面积＝△APG的面积，△KGE的面积＝△LGE的面积，
∴平行四边形MFKG的面积＝平行四边形QPGL的面积＝2，
∵NK＝BF，PK＝AF，
∵AF＝BF，
∴NK＝PK，
∴平行四边形PKEQ的面积＝平行四边形NDEK的面积＝3，
∴平行四边形GKEL的面积＝3﹣2＝1，
∴△GKE的面积＝．
故答案为：．
20．（2分）（2023春•渠县期末）如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，AB＝7，AD＝10，则OP＝ 1.5 ．
解：延长DP交BC于Q，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，CD＝AB＝7，BC＝AD＝10，AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，∠ADP＝∠CQD，
∵DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，
∴∠ADP＝∠CDQ＝∠ADC，∠DCP＝∠QCP＝∠BCD，
∴∠CQD＝∠CDQ，
∴CQ＝CD＝7，
∴BQ＝BC﹣CQ＝3，
∵∠CDQ+∠DCP＝（∠ADC+∠BCD）＝×180°＝90°，
∴CP⊥DQ，
∴DP＝QP，
∵OB＝OD，
∴OP是△BDQ的中位线，
∴OP＝BQ＝1.5，
故答案为：1.5．
三．解答题（共8小题，满分60分）
21．（6分）（2023秋•锦江区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）解：连接BD交AC于点O，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BD＝14，
∴OB＝OD＝7，
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF，
∵AE+CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE，
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝OB＝．
22．（6分）（2023秋•未央区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，连接AE，过点C作CF⊥AD于点F，且AF＝CE．请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
解：四边形AECF是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠D＝∠B，
∵AF＝CE，
∴AD﹣AF＝CB﹣CE，
∴DF＝BE，
在△CDF和△ABE中，
，
∴△CDF和≌△ABE（SAS），
∴CF＝AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵作CF⊥AD于点F，
∴∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
23．（8分）（2023秋•厦门期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝AD，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F．证明AE＝DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠ACE，
∵AE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠AEC＝∠AFD＝90°，
在△ADF与△ACE中，
，
∴△ADF≌△ACE（AAS），
∴AE＝DF．
24．（8分）（2023秋•岱岳区期末）如图，在▱BFDE中，A、C分别在DE、BF的延长线上，且AE＝CF．
求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
证明：（1）∵四边形BFDE是平行四边形，
∴∠BED＝∠DFB，BE＝DF，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵四边形BFDE是平行四边形，
∴DE∥BF，DE＝BF，
∵AE＝CF，
∴AE+DE＝CF+BF，
即AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
25．（8分）（2023秋•河口区期末）如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．
（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．
（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．
（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC，DE∥BC，
∵CF＝BC，
∴DE＝CF，
∴四边形DEFC是平行四边形．
（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点
∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，
∵∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∴BH＝DB＝2，
∴DH＝＝，
∵CF＝CB＝4，
∴S四边形DEFC＝CF•DH＝4×2＝8．
26．（8分）（2023秋•高青县期末）在▱ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE且DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN﹣EN＝4，
②证明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
27．（8分）（2023春•梁平区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠BDE，
∴AD∥EF，
又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
（2）解：四边形AEGF是矩形，理由如下：
由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF＝DE，
∵EG＝DE，
∴AF∥DE，AF＝GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD＝AG，EG＝DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
28．（8分）（2021秋•仓山区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若＝m（0＜m＜1），AC＝4，连接OE；
①若m＝，求平行四边形ABCD的面积；
②设＝k，试求k与m满足的关系．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵＝m＝，
∴AB＝BC，
∴AE＝BE＝BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2×AB•AC＝4×4＝16；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD＝S△BOC，S△BOC＝S△BCD，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD＝×bh，S△OBE＝××mb＝，
∴S四边形OECD＝S△BCD﹣S△OBE＝﹣＝（﹣）bh，
∵S△AOD＝×b＝，
∴＝（﹣）bh×＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
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